Jawaban:

Jawaban:

Grafik Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat :

f(x)=ax2+bx+c

dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

Jika digambarkan pada bidang koordinat, maka grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari nilai a, b dan c fungsi kuadrat tersebut.

Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat y = f(x)

Diberikan grafik fungsi kuadrat

f(x)=ax2+bx+c

.

Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya merupakan titik balik minimum.

Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya merupakan titik balik maksimum.

Parabola terbuka ke atas dan terbuka ke bawah

Hubungan nilai diskriminan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-x :

D > 0 : Parabola memotong sumbu-x di dua titik.

D = 0 : Parabola menyinggung sumbu-x

D < 0 : Parabola tidak memotong sumbu-x

dengan : D = b2 − 4ac

Parabola memotong, menyinggung dan tidak memotong sumbu-x

Posisi titik puncak grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-y :

ab > 0 : Titik puncak berada disebelah kiri sumbu-y

b = 0 : Titik puncak berada pada sumbu-y

ab < 0 : Titik puncak berada disebelah kanan sumbu-y

Titik potong sumbu-y grafik fungsi kuadrat :

c > 0 : Parabola memotong sumbu y positif

c = 0 : Parabola memotong sumbu y di titik (0,0)

c < 0 : Parabola memotong sumbu-y negatif

Contoh 1

Jika grafik

f(x)=x2+(m+3)x+2m+3

memotong sumbu-x di dua titik, maka batas-batas nilai m yang memenuhi adalah...

Jawab :

a = 1

b = m + 3

c = 2m + 3

Grafik memotong sumbu-x di dua titik, maka :

D > 0

b2 − 4ac > 0

(m + 3)2 − 4 . 1 (2m + 3) > 0

m2 + 6m + 9 − 8m −12 > 0

m2 − 2m − 3 > 0

Pembuat nol :

m2 − 2m − 3 = 0

(m + 1)(m − 3) = 0

m = −1 atau m = 3

Dengan uji garis bilangan diperoleh :

m < −1 atau m > 3

Contoh 2

Jika grafik fungsi kuadrat

y=ax2+bx+c

menyinggung garis

y=px+q

, tunjukkan bahwa (b − p)2 − 4a(c − q) = 0

Jawab :

Jika parabola menyinggung garis, maka diskriminan persamaan kuadrat gabungannya akan bernilai nol.

ax2 + bx + c = px + q

ax2 + bx − px + c − q = 0

ax2 + (b − p)x + c − q = 0

a = a

b = b − p

c = c − q

D = 0

b2 − 4ac = 0

(b − p)2 − 4a(c − q) = 0

Contoh 3

Grafik fungsi kuadrat

f(x)=2x2+kx+3

menyinggung garis

y=2x+1

. Untuk k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah...

Jawab :

Cara I

2x2 + kx + 3 = 2x + 1

2x2 + kx − 2x + 3 − 1 = 0

2x2 + (k − 2)x + 2 = 0

a = 2

b = k − 2

c = 2

D = 0

b2 − 4ac = 0

(k − 2)2 − 4 . 2 . 2 = 0

k2 − 4k + 4 − 16 = 0

k2 − 4k − 12 = 0

(k + 2)(k − 6 ) = 0

k = −2 atau k = 6

Karena k > 0, maka k = 6.

Cara II

f(x) = 2x2 + kx + 3

a = 2 ; b = k ; c = 3

y = 2x + 1

p = 2 ; q = 1

(b − p)2 − 4a(c − q) = 0

(k − 2)2 − 4 . 2 (3 − 1) = 0

k2 − 4k + 4 − 16 = 0

k2 − 4k − 12 = 0

(k + 2)(k − 6 ) = 0

k = −2 atau k = 6

Karena k > 0, maka k = 6.

Definit Positif dan Definit Negatif

Fungsi kuadrat

f(x)=ax2+bx+c

dikatakan definit positif jika f(x) selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real.

Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0

Ciri-ciri grafik fungsi definit positif :

Grafik tidak memotong sumbu-x.

Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di atas sumbu-x.

Fungsi kuadrat

f(x)=ax2+bx+c

dikatakan definit negatif jika f(x) selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real.

Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0

Ciri-ciri grafik fungsi definit negatif :

Grafik tidak memotong sumbu-x

Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di bawah sumbu-x.

Contoh 4

Jika fungsi kuadrat

f(x)=3x2+px+12

definit positif, maka batas-batas nilai p yang memenuhi adalah...

Jawab :

a = 3

b = p

c = 12

Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0

a > 0

3 > 0 (memenuhi)

D < 0

b2 − 4ac < 0

p2 − 4 . 3 . 12 < 0

p2 − 144 < 0

Pembuat nol :

p2 − 144 = 0

(p + 12)(p − 12) = 0

p = −12 atau p = 12

Dengan uji garis bilangan diperoleh :

−12 < p < 12

Contoh 5

Fungsi

f(x)=(m−3)x2+2mx+m+2

akan menjadi fungsi definit negatif bila nilai m berada pada interval...

Jawab :

a = m − 3

b = 2m

c = m + 2

Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0

a < 0

m − 3 < 0

m < 3 ...................................(1)

D < 0

b2 − 4ac < 0

(2m)2 − 4

(m − 3)(m + 2) < 0

4m2 − 4(m2 − m − 6) < 0

4m2 − 4m2 + 4m + 24 < 0

4m < −24

m < −6 ..................................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh irisan :

m < −6

Penjelasan dengan langkah-langkah:

#Semoga Membantu

#Jadikan Jawaban Tercerdas