Penjelasan dengan langkah-langkah:

Fungsi f(x) = √x^2 – 2x + 1 : √16 – x^2 terdefinisikan untuk x yang memenuhi –4 < x < 4. Hasil tersebut diperoleh dengan menggunakan garis bilangan. Untuk menentukan daerah asal (domain) dari suatu fungsi, kita lihat bentuk fungsinya bagaimana. Ada tiga bentuk yang perlu diketahui, yaitu:

y = \sqrt{f(x)}f(x) ⇒ Df : f(x) ≥ 0

y = \frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x) ⇒ Df : g(x) ≠ 0

y = \frac{f(x)}{\sqrt{g(x)}}g(x)f(x)  ⇒ Df : g(x) > 0

Df = domain atau daerah asal fungsi

Pembahasan

f(x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 2x + 1}{16 - x^{2}}}16−x2x2−2x+1 akan terdefinisi jika

\frac{x^{2} - 2x + 1}{16 - x^{2}}16−x2x2−2x+1 ≥ 0

\frac{(x - 1)(x - 1)}{(4 - x)(4 + x)}(4−x)(4+x)(x−1)(x−1) ≥ 0

Nilai x pembuat nolnya adalah

(x – 1) = 0 ⇒ x = 1

(4 – x) = 0 ⇒ x = 4

(4 + x) = 0 ⇒ x = –4  

Buat garis bilangan:

…….. (–4) ……. [1] …… (4) …….

Untuk menentukan tanda positif negatifnya, kita uji dengan nilai x yang dipilih

Untuk x < –4 misal kita pilih x = –5

\frac{(-5 - 1)(-5 - 1)}{(4 - (-5))(4 + (-5))} = \frac{(-6)(-6)}{(9)(-1)} = \frac{36}{-9}(4−(−5))(4+(−5))(−5−1)(−5−1)=(9)(−1)(−6)(−6)=−936 = –4 (negatif)

Untuk –4 < x ≤ 1, misal kita pilih x = 0

\frac{(0 - 1)(0 - 1)}{(4 - 0)(4 + 0)} = \frac{(-1)(-1)}{(4)(4)} = \frac{1}{16}(4−0)(4+0)(0−1)(0−1)=(4)(4)(−1)(−1)=161  (positif)

Untuk 1 ≤ x < 4, misal kita pilih x = 2

\frac{(2 - 1)(2 - 1)}{(4 - 2)(4 + 2)} = \frac{(1)(1)}{(2)(6)} = \frac{1}{12}(4−2)(4+2)(2−1)(2−1)=(2)(6)(1)(1)=121  (positif)

Untuk x > 4, misal kita pilih x = 5

\frac{(5 - 1)(5 - 1)}{(4 - 5)(4 + 5)} = \frac{(4)(4)}{(-1)(9)} = \frac{16}{-9}(4−5)(4+5)(5−1)(5−1)=(−1)(9)(4)(4)=−916  (negatif)

Dari uji nilai x tersebut, diperoleh garis bilangan:

-------- (–4) +++++ [1] +++++ (4) --------

Karena ≥ 0, maka kita ambil daerah yang positif yaitu antara –4 dan 4 ⇒ –4 < x < 4

Jadi f(x) akan terdefinisi untuk: –4 < x < 4