1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian deret berikut ini:​

Berikut ini adalah pertanyaan dari fifi76477 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian deret berikut ini:​
Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian deret berikut ini:​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+\dfrac{4}{3^4}+\hdots = \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n} = S\\I = \int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{x}{3^x}\; dx, t = 3^{-x}, dt = -3^{-x} \ln(3)\; dx\to 3^{-x}\;dx = -\dfrac{dt}{\ln(3)}\\I = \int\limits_{0}^{\tfrac{1}{3}} \dfrac{-\log_3(t)\; dt}{\ln(3)} = -\dfrac{1}{\ln^2(3)}\cdot \int\limits_{0}^{\tfrac{1}{3}} \ln(t)\; dt\\I = -\dfrac{1}{\ln^2(3)}\cdot \int\limits_{0}^{\tfrac{1}{3}} \ln(t)\; dt, v=\ln(t), dv = \dfrac{dt}{t}\to dt = e^v\; dv\\

\displaystyle I = -\dfrac{1}{\ln^2(3)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{-\ln(3)} ve^v\; dv\\I = -\dfrac{1}{\ln^2(3)}\cdot \boldsymbol{\Bigg{[}} (v-1)e^v \boldsymbol{\Bigg{]}}\limits_{-\infty}^{-\ln(3)}\\I = -\dfrac{1}{\ln^2(3)}\cdot \left( (-\ln(3)-1)\cdot \dfrac{1}{3} - \lim_{v \to -\infty} \dfrac{v-1}{e^{-v}} \right)\\I = -\dfrac{1}{\ln^2(3)}\cdot \left( \dfrac{1}{3}\cdot\ln\left(\dfrac{1}{3e}\right) - \lim_{v \to -\infty} \dfrac{1}{-e^{-v}} \right)\\

\displaystyle I = -\dfrac{1}{\ln^2(3)}\cdot \left( \dfrac{1}{3}\cdot\ln\left(\dfrac{1}{3e}\right) + \lim_{v \to -\infty} e^{v} \right)\\\\\\I = \dfrac{\ln\left(3e\right) }{3\ln^2(3)}

Karena integral I konvergen ke suatu nilai, maka deret S juga bersifat konvergen

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor4 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 27 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>