1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

tentukan hasil dr limit tsb! jgn jwb asal, g guna,

Berikut ini adalah pertanyaan dari CutieDumbo pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan hasil dr limit tsb!
jgn jwb asal, g guna, nnti kena hps poin ditarik, gada untungny
tentukan hasil dr limit tsb! jgn jwb asal, g guna, nnti kena hps poin ditarik, gada untungny

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari \displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} }adalah\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}} }.

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada, maka berarti itulah nilai limitnya.

\lim\limits_{x \to c} f(x)=f(c)

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk-bentuk tak tentu :

\displaystyle{(i).~0\times\infty}

\displaystyle{(ii).~\infty-\infty}

\displaystyle{(iii).~0^0}

\displaystyle{(iv).~1^{\infty}}

\displaystyle{(v).~\infty^0}

Kita harus memodifikasi terlebih dahulu bentuk limitnya sehingga menghasilkan bentuk tak tentu \displaystyle{\frac{0}{0}~atau~\frac{\infty}{\infty} }. Setelah itu nilai limitnya dapat dicari menggunakan aturan l'hospital, dimana:

\displaystyle{\lim\limits_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to c} \frac{\frac{d}{dx}\left [ f(x) \right ]}{\frac{d}{dx}\left [ g(x) \right ]}=\frac{f'(c)}{g'(c)},~~dengan~f'(c),~g'(c)\neq 0}

.

DIKETAHUI

\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2}= }

.

DITANYA

Tentukan nilai limitnya.

.

PEMBAHASAN

Cek dengan substitusi langsung.

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} }

\displaystyle{= \left ( 1-\frac{5}{\infty} \right )^{\infty} }

\displaystyle{= \left ( 1-0 \right )^{\infty} }

\displaystyle{=1^{\infty} }

.

Karena hasilnya bentuk tak tentu, kita ubah dahulu bentuk limitnya menggunakan logaritma natural.

Misal :

\displaystyle{A=\lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} }

\displaystyle{lnA=ln\left [ \lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} \right ] }

\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} ln\left [ \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} \right ] }

\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} (x-2)ln\left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right ) }

\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{ln\left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )}{\frac{1}{x-2}} }

Cek dengan substitusi langsung :

\displaystyle{lnA=\frac{ln\left ( 1-0 \right )}{0} }

\displaystyle{lnA=\frac{0}{0} }

Karena hasilnya bentuk \displaystyle{\frac{0}{0}}, kita gunakan aturan l'hospital.

\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{ln\left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )}{\frac{1}{x-2}} }

\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}\left [ ln\left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right ) \right ]}{\frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{x-2} \right ]} }

\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1-\frac{5}{3x-6}}\left [ 0-\frac{0(3x-6)-5(3)}{(3x-6)^2} \right ]}{\frac{0(x-2)-1(1)}{(x-2)^2}} }

\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3x-6-5}{3x-6}}\left [ \frac{15}{(3x-6)^2} \right ]}{\frac{-1}{(x-2)^2}} }

\displaystyle{lnA=-\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{15}{(3x-11)(3x-6)}}{\frac{1}{(x-2)^2}} }

\displaystyle{lnA=-\lim_{x \to \infty} \frac{15}{(3x-11)(3x-6)}\times(x-2)^2 }

\displaystyle{lnA=-\lim_{x \to \infty} \frac{5(x-2)^2}{(3x-11)(x-2)} }

\displaystyle{lnA=-5\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4x+4}{3x^2-17x+22}\times\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} }

\displaystyle{lnA=-5\lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}{3-\frac{17}{x}+\frac{22}{x^2}} }

\displaystyle{lnA=-5\times\frac{1-0+0}{3-0+0} }

\displaystyle{lnA=-\frac{5}{3} }

\displaystyle{A=e^{-\frac{5}{3}} }

\displaystyle{A=\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}} }

.

KESIMPULAN

Nilai dari \displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} }adalah\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}} }.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Limit l'hospital : yomemimo.com/tugas/37654365
  2. Limit l'hospital : yomemimo.com/tugas/29460066
  3. Limit teorema apit : yomemimo.com/tugas/45450337

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Limit Fungsi Aljabar

Kode Kategorisasi: 11.2.8

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 05 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>