Jika tan x = 2/5 maka nilai dari cos x

Berikut ini adalah pertanyaan dari faraaira0 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika tan x = 2/5 maka nilai dari cos x - cos 5x / sin x + sin 5x $\frac{cos \: x \: - \: cos \: 5x}{sin \: x \: + \: sin \: 5x}$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika tan x = 2/5maka nilai dari(cos x–cos 5x)/(sin x+sin 5x)adalah20/21.
 

Pembahasan

Trigonometri

Kita akan menggunakan identitas-identitas trigonometri berikut ini.

$\begin{aligned}\bullet\ &\sin A+\sin B=2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\\\bullet\ &\cos A-\cos B=-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\\\bullet\ &\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\\&\Rightarrow\ \tan2C=\frac{2\tan C}{1-\tan^2 C}\end{aligned}$

Penyelesaian

$\begin{aligned}&\frac{\cos x-\cos5x}{\sin x+\sin5x}\\{=\ }&-\frac{\cos 5x-\cos x}{\sin5x+\sin x}\\{=\ }&-\frac{-\cancel{2\sin\left(\dfrac{5x+x}{2}\right)}\sin\left(\dfrac{5x-x}{2}\right)}{\cancel{2\sin\left(\dfrac{5x+x}{2}\right)}\cos\left(\dfrac{5x-x}{2}\right)}\\{=\ }&\frac{\sin\left(\dfrac{5x-x}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{5x-x}{2}\right)}=\frac{\sin2x}{\cos2x}\\{=\ }&\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\frac{2\cdot\dfrac{2}{5}}{1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2}=\frac{\dfrac{4}{5}}{1-\dfrac{4}{25}}\\{=\ }&\frac{4/5}{21/25}=\frac{4}{21/5}=\frac{4\cdot5}{21}\\{=\ }&\boxed{\,\bf\frac{20}{21}\,}\end{aligned}$
 