kak bantuin tugas aku

Berikut ini adalah pertanyaan dari bantuintugasaku pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kak bantuin tugas aku

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Hasil bagi} \: \: \: {x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8 \: \: \: \text{oleh} \: \: {x}^{2} + x - 2 \: \: \: \text{adalah} \: \: \boxed{ {x}^{2} - 3} \: \: . \\$

Pembahasan

Bentuk Umum Suku Banyak

$P(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + a_{3} x^{n - 3} + \cdots + a_{n - 1} x + a_{n} \\ \\ a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots a_{n - 2}, a_{n - 1} \: \: \text{adalah koefisien} \\ \\ a_{n} \: \: \text{konstanta} \\ \\ n \: \: \text{adalah derajat atau pangkat tertinggi} \\ \\$

Aturan sisa pada pembagian suku banyak

$\boxed{P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)} \\ \\ P(x) \: \: \text{adalah polinomial atau suku banyak} \\ \\ Q(x) \: \: \text{adalah pembagi} \\ \\ H(x) \: \: \text{adalah hasil bagi} \\ \\ S(x) \: \: \text{adalah sisa pembagian} \\ \\$

Diketahui :

$( {x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8) : ( {x}^{2} + x - 2) \\ \\$

Ditanya :

Hasil bagi pembagian suku banyak tersebut.

Jawab :

$\text{Misal} \: \: p(x) = {x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8 \\ \\$

Berdasarkan aturan sisa pembagian suku banyak diperoleh hubungan sebagai berikut :

${x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8 = ({x}^{2} + x - 2) \cdot H(x) + S(x) \\ \\ H(x) \: \: \text{adalah hasil bagi} \\ \\ S(x) \: \: \text{adalah sisa pembagian} \\ \\$

Sebelum menentukan hasil bagi maka terlebih dahulu mengetahui sisa pembagiannya.

Pembaginya :

${x}^{2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \\ \\$

$p(x) = {x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8 \\ \\ p( - 2) = {( - 2)}^{4} + {( - 2)}^{3} - 5 {( - 2)}^{2} - 3( - 2) + 8 \\ \\ p( - 2) = 16 - 8 - 20 + 6 + 8 \\ \\ \boxed{p( - 2) = 2} \\ \\$

$p(1) = {(1)}^{4} + {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} - 3(1) + 8 \\ \\ p(1) = 1 + 1 - 5 - 3 + 8 \\ \\ \boxed{p(1) = 2} \\ \\$

Pembagian suku banyak tersebut akan menghasilkan sisa berupa fungsi linear, yaitu :

$s(x) = ax + b \\ \\ \text{Eliminasi } \: \: b : \\ \\ s( - 2) = - 2a + b = 2 \\ \\ s(1) = a + b = 2 \\ \\ \text{diperoleh} \: \: a =0 \: \: \text{dan} \: \: b = 2 \\ \\ \boxed{s(x) = 2} \\ \\$

${x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8 = ({x}^{2} + x - 2) \cdot h(x) + s(x) \\ \\ {x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8 = ({x}^{2} + x - 2) \cdot h(x) + 2 \\ \\ ({x}^{2} + x - 2) \cdot h(x) = {x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 6 \\ \\ h(x) = \frac{{x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 6}{ {x}^{2} + x - 2 } \\ \\ h(x) = \frac{( {x^{2} - 3)(x + 2)(x - 1)} }{ (x + 2)(x - 1) } \\ \\ \boxed{h(x) = {x}^{2} - 3} \\ \\$

$\boxed{ \boxed{{x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8 = ( {x}^{2} + x - 2)( {x}^{2} - 3) + 2}} \\ \\$

Kesimpulan :

$\text{Hasil bagi} \: \: \: {x}^{4} + {x}^{3} - 5 {x}^{2} - 3x + 8 \: \: \: \text{oleh} \: \: {x}^{2} + x - 2 \: \: \: \text{adalah} \: \: \boxed{ {x}^{2} - 3} \: \: . \\ \\$