Jika [tex] \sqrt{ \frac{10 + 4 \sqrt{6} }{10 - 4

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika $\sqrt{ \frac{10 + 4 \sqrt{6} }{10 - 4 \sqrt{6} } }$
= a + b √6,maka a + b=
A)8
B)7
C)6
D)5
E)4

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Nilai} \: \: a+b \: \: \text{yang memenuhi persamaan} \\ \\ \sqrt{ \frac{10 + 4 \sqrt{6} }{10 - 4 \sqrt{6} } } = a + b \sqrt{6} \: \: \text{adalah} \: \: 7 \: \: \: (b) \: \: . \\$

Pembahasan

Sifat-sifat bentuk akar

$\boxed{\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}} \\ \\ \boxed{\sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }} \\ \\ \\ \\$

Cara merasionalkan bentuk akar (mengalikan akar sekawan)

$\boxed{\boxed{\frac{a + \sqrt{b} }{c} = \frac{a + \sqrt{b} }{c} \times \frac{a - \sqrt{b} }{a - \sqrt{b} }}} \\ \\$

Diketahui :

$\sqrt{ \frac{10 + 4 \sqrt{6} }{10 - 4 \sqrt{6} } } = a + b \sqrt{6} \\ \\$

Ditanya :

$a + b \\ \\$

Jawab :

$\begin{aligned} \sqrt{ \frac{10 + 4 \sqrt{6} }{10 - 4 \sqrt{6} } } & \: = a + b \sqrt{6} \\ \\ \frac{10 + 4 \sqrt{6} }{10 - 4 \sqrt{6} } \: & = (a + b \sqrt{6})^{2} \\ \\ \frac{ 2(5+ 2 \sqrt{6}) }{2(5 - 2 \sqrt{6} )} \: & = (a + b \sqrt{6})^{2} \\ \\ \frac{5+ 2 \sqrt{6}}{5 - 2 \sqrt{6} } \: & = (a + b \sqrt{6})^{2} \\ \\ \frac{5+ 2 \sqrt{6}}{5 - 2 \sqrt{6} } \times \frac{5 + 2 \sqrt{6} }{5 + 2 \sqrt{6} } \: & = (a + b \sqrt{6})^{2} \\ \\ \frac{(5+ 2 \sqrt{6})^{2} }{25 - 24 } \: & = (a + b \sqrt{6})^{2} \\ \\ (5+ 2 \sqrt{6})^{2} \: & = (a + b \sqrt{6})^{2} \\ \\ (5+ 2 \sqrt{6})^{2} - (a + b \sqrt{6})^{2}\: & = 0 \\ \\ \left((5 + a) + (2 + b) \sqrt{6} \right) \left((5 - a) + (2 - b) \sqrt{6} \right)\: & = 0 \\ \\ \end{aligned} \\$

$(5 - a) + (2 - b) \sqrt{6} = 0 \\ \\ 5 - a = (b - 2) \sqrt{6} \\ \\$

Banyak solusi untuk a dan b .

$a = 5 \: \Rightarrow \: b = 2 \\ \\a = 5 - \sqrt{6} \: \Rightarrow \: b = 3 \\ \\$

Salah satu nilai a dan b yang sesuai adalah sebagai berikut :

$a = 5 \: \Rightarrow \: b = 2 \\ \\$

$\: \: \: \: \: a + b \\ \\ = 5 + 2 \\ \\ = 7 \\ \\$

( opsi B )

Kesimpulan :

$\text{Nilai} \: \: a+b \: \: \text{yang memenuhi persamaan} \\ \\ \sqrt{ \frac{10 + 4 \sqrt{6} }{10 - 4 \sqrt{6} } } = a + b \sqrt{6} \: \: \text{adalah} \: \: 7 \: \: \: (b) \: \: . \\ \\$