Diketahui f: R→ R dang: R → R dengan f(x)

Berikut ini adalah pertanyaan dari aisyahhanief190405 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui f: R→ R dang: R → R dengan f(x) = 2x - 3 dan g(x) = x+5/x-3. Fungsi (f • g)-¹(x) =

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$(f \circ g)^{-1}(x) \: = \frac{3x+19}{x+1} \: \quad \:, \: x\neq -1 \\ \\$

PEMBAHASAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep komposisi dan invers fungsi.

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi oleh dua atau lebih fungsi yang bertujuan untuk membentuk satu fungsi baru.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) \: \text{ artinya operasi fungsi } \: g \: \text{ pada fungsi } \: f \: \text{ dalam variabel } \: x \: . \\ \\ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \: \text{ artinya operasi fungsi } \: f \: \text{ pada fungsi } \: g \: \text{ dalam variabel } \: x \: . \\ \\$

Invers fungsi adalah balikan dari suatu fungsi. Dengan kata lain, invers fungsi adalah balikan dalam bentuk fungsi.

$\text{Misal } \: y = f(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = f^{-1}(y) \: \: . \\ \\ \boxed{(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)} \\ \\ \boxed{(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)} \\ \\$

DIKETAHUI :

$f \:: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \: \text{ dan } \: g\:: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \: \text{ dengan } \\ \\ f(x) = 2x-3 \: \text{ dan } \: g(x) = \frac{x+5}{x-3} \: \quad \:, \: \: x\neq 3 \: \:. \\ \\$

DITANYA :

$(f \circ g)^{-1}(x) \: \:. \\ \\$

JAWAB :

Cara 1 :

Menentukan invers dari fungsi $f \: \text{ dan } \: g$ masing-masing. Kemudian bentuk komposisi fungsi yang sesuai.

$\text{Misal } \: y = f(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = f^{-1}(y) \: \: . \\ \\$

$\begin{aligned} f(x) & \: = 2x-3 \\ \\ y \: & = 2x-3 \\ \\ \Leftrightarrow \: \: 2x-3 \: & = y \\ \\ 2x \: & = y+3 \\ \\ x \: & = \frac{1}{2}(y+3) \\ \\ f^{-1}(y) \: & = \frac{1}{2}(y+3) \\ \\ f^{-1}(x) \: & = \frac{1}{2}(x+3) \\ \\ f^{-1}(x) \: & = \frac{x+3}{2} \\ \\ \end{aligned}$

$\text{Misal } \: k = g(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = g^{-1}(k) \: \: . \\ \\$

$\begin{aligned} g(x) & \: = \frac{x+5}{x-3} \\ \\ k \: & = \frac{x+5}{x-3} \\ \\ k(x-3) \: & = x+5 \\ \\ kx-3k \: & = x+5 \\ \\ kx-x \: & = 3k+5 \\ \\ x(k-1) \: & = 3k+5 \\ \\ x \: & = \frac{3k+5}{k-1} \\ \\ g^{-1}(k) \: & = \frac{3k+5}{k-1} \\ \\ g^{-1}(x) \: & = \frac{3x+5}{x-1} \: \quad \:, \: x \neq 1 \\ \\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} (f \circ g)^{-1}(x) & \: = \left( g^{-1} \circ f^{-1} \right)(x) \\ \\ \: & = g^{-1} \left( f^{-1}(x) \right) \\ \\ \: & = g^{-1} \left( \frac{1}{2}(x+3) \right) \\ \\ \: & = \frac{3 \left( \frac{x+3}{2} \right) +5}{\left( \frac{x+3}{2} \right)-1} \\ \\ \: & = \frac{\frac{3(x+3)+10}{2}}{ \frac{x+3-2}{2} } \\ \\ \: & = \frac{\frac{3x+19}{2}}{ \frac{x+1}{2} } \\ \\ (f \circ g)^{-1}(x) \: & = \frac{3x+19}{x+1} \: \quad \:, \: x\neq -1 \\ \\ \end{aligned}$

Cara 2 :

Menentukan komposisi fungsi $f \: \text{ dan } \: g$ masing-masing. Kemudian tentukan invers dari komposisi fungsi tersebut.

$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & \: = f(g(x)) \\ \\ \: & = f \left( \frac{x+5}{x-3} \right) \\ \\ \: & = 2\left( \frac{x+5}{x-3} \right)-3 \\ \\ \: & = \frac{2(x+5)-3(x-3)}{x-3} \\ \\ \: & = \frac{-x+19}{x-3} \: \quad \:, \: x \neq 3 \\ \\ \end{aligned}$

$\text{Misal } \: y = (f \circ g)(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = (f \circ g)^{-1}(y) \: \: . \\ \\$

$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & \: = \frac{-x+19}{x-3} \\ \\ y \: & = \frac{-x+19}{x-3} \\ \\ y(x-3) \: & = -x+19 \\ \\ xy-3y \: & = -x+19 \\ \\ xy+x \: & = 3y+19 \\ \\ x(y+1) \: & = 3y+19 \\ \\ x \: & = \frac{3y+19}{y+1} \\ \\ (f \circ g)^{-1}(y) \: & = \frac{3y+19}{y+1} \\ \\ (f \circ g)^{-1}(x) \: & = \frac{3x+19}{x+1} \: \quad \:, \: x\neq -1 \\ \\ \end{aligned}$