Misalkan adanb bilangan bulat positif, sehingga a(a + b) = b + 8.
Nilai terkecil dari b – a adalah 2.
 

Pembahasan

Kita tinjau asimtot dari a(a + b) = b + 8.

a² + ab – b = 8
⇒ a² + b(a – 1) = 8
⇒ b = (8 – a²)/(a – 1)

Maka, salah satu asimtotnya adalah a = 1.

Asimtot yang lain dapat dicari dengan:

Kita peroleh asimtot lain, yaitu asimtot miring (slant) b = –a – 1 = –(a+1).

Karena semesta pembicaraan adalah bilangan bulat positif, maka yang dapat digunakan dalam perhitungan adalah asimtot a = 1, yang jelas tak akan tersentuh oleh grafik fungsi jika digambarkan.

Oleh karena itu, nilai minimum a adalah 2.

Dengan a = 2:

a² + ab – b = 8
⇒ 4 + 2b – b = 8
⇒ b = 4
⇒ b – a = 2

Apakah nilai b – a ini adalah nilai terkecil yang mungkin? Mari kita selidiki lagi.

Dari penelusuran asimtot miring di atas, sisa pembagiannya adalah 7/(a–1), padahal f(a) = b ∈ ℕ, dengan a ∈ ℕ.

Maka: 7 = k(a – 1),  k ∈ ℤ.

Nilai k yang memenuhi adalah:

• k = –7
  ⇒ 7 = –7a + 7
  ⇒ a =0
  ⇒ tidak memenuhi syarat a ∈ ℕ
• k = –1
  ⇒ 7 = –a + 1
  ⇒ a = –6
  ⇒ tidak memenuhi syarat a ∈ ℕ
• k = 1
  ⇒ 7 = a – 1
  ⇒ a = 8
  ⇒ b = –8 – 1 + 1 = –8
  ⇒ tidak memenuhi syarat b ∈ ℕ
• k = 7
  ⇒ 7 = 7a – 7
  ⇒ a = 2
  ⇒ b = –2 – 1 + 7 = 4
  ⇒ solusi yang sama, yaitu b – a = 2
  

KESIMPULAN

∴  Nilai terkecil dari b – a, yang juga merupakan satu-satunya solusi untuk a dan b bilangan bulat positif, adalah 2.