KALKULUS .......dengan menggunakan uji rasio , periksa apakah deret berikut

Berikut ini adalah pertanyaan dari KaifaAthar495 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

KALKULUS .......dengan menggunakan uji rasio , periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen...
1+1/4+1/9...+1/n^2....

.....TOLONG KA BANTU SAYA BESOK SUDAH DIKUMPULIN TUGASNYA KA .... PLEASE.......

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Dengan menggunakan uji rasio, deret $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2}+...$ tidak dapat ditentukan apakah bersifat konvergen atau divergen. Akan tetapi dengan menggunakan uji integral dapat dibuktikan bahwa deret bersifat konvergen.

PEMBAHASAN

Suatu deret tak hingga dapat bersifat konvergen atau divergen. Salah satu cara untuk membuktikan apakah deret tak hingga bernilai konvergen atau divergen adalah dengan menggunakan uji rasio. Uji rasio ini membandingkan suku ke-n dengan suku ke-n+1.

Ada 3 nilai dalam uji rasio, yaitu :

$1.~Jika~|\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}}|1~maka~deret~divergen\\\\3.~Jika~|\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}}|=1~maka~deret~tidak~dapat~ditentukan$

DIKETAHUI

Deret $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2}+...$

DITANYA

Periksa apakah deret konvergen atau divergen dengan uji rasio.

PENYELESAIAN

$u_n=\frac{1}{n^2}\\\\u_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}\\\\\\cek~uji~rasio\\\\\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2}\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+2n+1}\times\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\\\\=\frac{1}{1+0+0}\\\\=1$

Karena $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=1\\$ maka $|\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}|=1$

Sehingga dengan uji rasio tidak dapat disimpulkan apakah deret bersifat konvergen atau divergen.

Untuk membuktikan apakah deret konvergen atau divergen, kita bisa menggunakan uji yang lain. Salah satunya adalah uji integral.

$\int\limits^{\infty}_1 {u_n} \, dn\\\\=\lim_{b \to \infty} \int\limits^b_1 {\frac{1}{n^2}} \, dn\\\\=\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{n}|^b_1\\\\=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{b}+1)\\\\=0+1\\\\=1$