Ka,minta tolong bantuannya untuk mengerjakan soal ini.dengan caranya sekalian, terimakasih

Berikut ini adalah pertanyaan dari Orangpokoknya pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari $\lim_{x \to 4} \frac{x+\sqrt{x}-6}{x-3\sqrt{x}+2}$ adalah 5

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada maka berarti itulah nilai limitnya.

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ maka harus dilakukan manipulasi aljabar atau menggunakan aturan l'hospital. Diengan menggunakan aturan l'hospital, nilai limit fungsi dapat dicari dengan rumus :

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

DIKETAHUI

$\lim_{x \to 4} \frac{x+\sqrt{x}-6}{x-3\sqrt{x}+2}=$

DITANYA

Tentukan nilai limit fungsi tersebut.

PENYELESAIAN

> Cek dengan subsitusi langsung.

$\lim_{x \to 4} \frac{x+\sqrt{x}-6}{x-3\sqrt{x}+2}=\frac{4+\sqrt{4}-6}{4-3\sqrt{4}+2}=\frac{0}{0}$

Karena hasilnya bentuk tak tentu, maka dapat kita selesaikan dengan manipulasi aljabar atau menggunakan teorema l'hospital.

> Mengunakan manipulasi aljabar.

$\lim_{x \to 4} \frac{x+\sqrt{x}-6}{x-3\sqrt{x}+2}\\\\=\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)}\\\\=\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\\\\=\frac{\sqrt{4}+3}{\sqrt{4}-1}\\\\=\frac{5}{1}\\\\=5$

> Menggunakan l'hospital

$\lim_{x \to 4} \frac{x+\sqrt{x}-6}{x-3\sqrt{x}+2}\\\\=\lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{dx}(x+\sqrt{x}-6)}{\frac{d}{dx}(x-3\sqrt{x}+2)}\\\\=\lim_{x \to 4} \frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1-\frac{3}{2\sqrt{x}}}\\\\=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{4}}}{1-\frac{3}{2\sqrt{4}}}\\\\=\frac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{3}{4}}\\\\=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}\\\\=5$