1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan persamaan berkas lingkaran yang melalui titik-titik (1,3) dan (4,5)

Berikut ini adalah pertanyaan dari dinams5458 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan persamaan berkas lingkaran yang melalui titik-titik (1,3) dan (4,5)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Garis kuasa :

L_1 = L_2\\x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1 = x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2\\(a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y+c_1 -c_2 = 0\\x = 1,y=3 \to a_1-a_2+3(b_1-b_2) + c_1-c_2 = 0\\x=4, y = 5 \to 4(a_1-a_2)+5(b_1-b_2) + c_1-c_2 = 0\\3(a_1-a_2) = -2(b_1-b_2)\to -2(b_1-b_2)+9(b_1-b_2) + 3(c_1-c_2) = 0\\3(c_1-c_2) = -7(b_1-b_2)\\\\(b_1-b_2)\left(-\dfrac{2}{3}x+y-\dfrac{7}{3}\right) = 0\\\boxed{\boxed{3y-2x-7 = 0\to y = \dfrac{2x+7}{3}}}

Titik tengah (1,3),(4,5) = C' = (5/2, 4)

Garis tegak lurus garis kuasa :

\left[\begin{array}{ccc}1&0&\frac{5}{2} \\0&1&4\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&-1&0 \\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{5}{2} \\0&1&-4\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}t\\\frac{2t+7}{2} \\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}0&-1&\frac{13}{2} \\1&0&0\\0&0&\frac{3}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}t\\\frac{2t+7}{3} \\1 \end{array}\right]\\

= \left[\begin{array}{ccc}-\frac{4t-25}{6}\\ t + \frac{3}{2} \\1 \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}-\frac{4t-25}{6}\\ t + \frac{3}{2}\end{array}\right]

Pusat lingkaran :

a1 = -(4t1 - 25)/6, b1 = t1 + 3/2

a2 = -(4t2 - 25)/6, b2 = t2 + 3/2

Disini kita bisa bebas memilih pusat lingkarannya dengan memasukkan sembarang nilai t1 dan t2 (karena berkas lingkaran bisa dibuat dengan sembarang 2 lingkaran, asalkan pusat kedua lingkaran tadi berada pada garis tegak lurus garis kuasa).

Misalkan a1 = 0 => t1 = 25/4, b1 = 31/4, serta b2 = 0 => t2 = -3/2, a2 = 31/6

Lalu didapatkan L1 dan L2 sebagai berikut :

\displaystyle L_1 : x^2+\left(y-\dfrac{31}{4}\right)^2 = r_1^2, L_2 : \left(x-\frac{31}{6} \right)^2+y^2 = r_2^2

sekarang tinggal mencari nilai r1 dan r2 sehingga L1 dan L2 berpotongan di titik (1,3) dan (4,5)

L1 dan L2 :

\displaystyle L_1 : x^2+\left(y-\dfrac{31}{4}\right)^2 = r_1^2, L_2 : \left(x-\frac{31}{6} \right)^2+y^2 = r_2^2\\1^2 + \left(3-\dfrac{31}{4}\right)^2 = r_1^2=\dfrac{377}{16}, \left(1-\dfrac{31}{6}\right)^2+3^2=r_2^2=\frac{949}{36} \\\\ L_1 : x^2+\left(y-\dfrac{31}{4}\right)^2 - \dfrac{377}{16} = 0, L_2 : \left(x-\frac{31}{6} \right)^2+y^2 - \frac{949}{36} = 0\\\\ L_1 : x^2+y^2-\dfrac{31}{2}y +\dfrac{584}{16} = 0, L_2 : x^2+y^2 - \dfrac{31}{3}x+ \frac{1}{3} = 0

Maka persamaan berkas lingkarannya adalah :

\displaystyle L_1+\lambda L_2 = 0\\\\\boxed{\boxed{x^2+y^2-\dfrac{31}{2}y +\dfrac{584}{16} +\lambda\left( x^2+y^2 - \dfrac{31}{3}x + \frac{1}{3} \right)=0}}\\\\\boxed{\boxed{(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2-\dfrac{31\lambda}{3}x-\dfrac{31}{2}y +\dfrac{584}{16} +\dfrac{\lambda}{3}=0}}\\\\\boxed{\boxed{(1+\lambda)(x^2+y^2)-\dfrac{31\lambda}{3}x-\dfrac{31}{2}y +\dfrac{1752+16\lambda}{48}=0}}\\\\

Illustrasi Interaktif Persamaan Berkas bisa dilihat disini (ubah/gerakkan slider nilai a untuk animasi berkas lingkaran) :

desmos.com/calculator/4ngt5zanvq?lang=id

Jawab:Penjelasan dengan langkah-langkah:Garis kuasa :[tex]L_1 = L_2\\x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1 = x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2\\(a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y+c_1 -c_2 = 0\\x = 1,y=3 \to a_1-a_2+3(b_1-b_2) + c_1-c_2 = 0\\x=4, y = 5 \to 4(a_1-a_2)+5(b_1-b_2) + c_1-c_2 = 0\\3(a_1-a_2) = -2(b_1-b_2)\to -2(b_1-b_2)+9(b_1-b_2) + 3(c_1-c_2) = 0\\3(c_1-c_2) = -7(b_1-b_2)\\\\(b_1-b_2)\left(-\dfrac{2}{3}x+y-\dfrac{7}{3}\right) = 0\\\boxed{\boxed{3y-2x-7 = 0\to y = \dfrac{2x+7}{3}}}[/tex]Titik tengah (1,3),(4,5) = C' = (5/2, 4)Garis tegak lurus garis kuasa :[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0&\frac{5}{2} \\0&1&4\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&-1&0 \\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{5}{2} \\0&1&-4\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}t\\\frac{2t+7}{2} \\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}0&-1&\frac{13}{2} \\1&0&0\\0&0&\frac{3}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}t\\\frac{2t+7}{3} \\1 \end{array}\right]\\[/tex][tex]= \left[\begin{array}{ccc}-\frac{4t-25}{6}\\ t + \frac{3}{2} \\1 \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}-\frac{4t-25}{6}\\ t + \frac{3}{2}\end{array}\right][/tex]Pusat lingkaran : a1 = -(4t1 - 25)/6, b1 = t1 + 3/2a2 = -(4t2 - 25)/6, b2 = t2 + 3/2Disini kita bisa bebas memilih pusat lingkarannya dengan memasukkan sembarang nilai t1 dan t2 (karena berkas lingkaran bisa dibuat dengan sembarang 2 lingkaran, asalkan pusat kedua lingkaran tadi berada pada garis tegak lurus garis kuasa).Misalkan a1 = 0 => t1 = 25/4, b1 = 31/4, serta b2 = 0 => t2 = -3/2, a2 = 31/6Lalu didapatkan L1 dan L2 sebagai berikut :[tex]\displaystyle L_1 : x^2+\left(y-\dfrac{31}{4}\right)^2 = r_1^2, L_2 : \left(x-\frac{31}{6} \right)^2+y^2 = r_2^2[/tex]sekarang tinggal mencari nilai r1 dan r2 sehingga L1 dan L2 berpotongan di titik (1,3) dan (4,5)L1 dan L2 :[tex]\displaystyle L_1 : x^2+\left(y-\dfrac{31}{4}\right)^2 = r_1^2, L_2 : \left(x-\frac{31}{6} \right)^2+y^2 = r_2^2\\1^2 + \left(3-\dfrac{31}{4}\right)^2 = r_1^2=\dfrac{377}{16}, \left(1-\dfrac{31}{6}\right)^2+3^2=r_2^2=\frac{949}{36} \\\\ L_1 : x^2+\left(y-\dfrac{31}{4}\right)^2 - \dfrac{377}{16} = 0, L_2 : \left(x-\frac{31}{6} \right)^2+y^2 - \frac{949}{36} = 0\\\\ L_1 : x^2+y^2-\dfrac{31}{2}y +\dfrac{584}{16} = 0, L_2 : x^2+y^2 - \dfrac{31}{3}x+ \frac{1}{3} = 0[/tex]Maka persamaan berkas lingkarannya adalah :[tex]\displaystyle L_1+\lambda L_2 = 0\\\\\boxed{\boxed{x^2+y^2-\dfrac{31}{2}y +\dfrac{584}{16} +\lambda\left( x^2+y^2 - \dfrac{31}{3}x + \frac{1}{3} \right)=0}}\\\\\boxed{\boxed{(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2-\dfrac{31\lambda}{3}x-\dfrac{31}{2}y +\dfrac{584}{16} +\dfrac{\lambda}{3}=0}}\\\\\boxed{\boxed{(1+\lambda)(x^2+y^2)-\dfrac{31\lambda}{3}x-\dfrac{31}{2}y +\dfrac{1752+16\lambda}{48}=0}}\\\\[/tex]Illustrasi Interaktif Persamaan Berkas bisa dilihat disini (ubah/gerakkan slider nilai a untuk animasi berkas lingkaran) :desmos.com/calculator/4ngt5zanvq?lang=id

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor4 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 13 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>