1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

(+50) KuMat - Kuis Matematika Misalkan [tex]\bf C[/tex] menyatakan koefisien [tex]x^2[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari henriyulianto pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

(+50) KuMat - Kuis MatematikaMisalkan \bf Cmenyatakan koefisienx^2 pada ekspansi polinomial:
\begin{aligned}(1-x)(1+2x)(1-3x)\dots(1+14x)(1-15x)\end{aligned}
(perhatikan tandanya)

Tentukan nilai \left|\bf C\right| .

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

|C| = 588

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\displaystyle (1-x)(1+2x)(1-3x)\hdots (1+14x)(1-15x) = P(x) = \prod _{k=1}^{15} (1+(-1)^k\cdot kx)\\P(x)= \prod_{k=1}^{15} k(-1)^k \cdot \prod _{k=1}^{15} \left(\dfrac{(-1)^{k}}{k}+x\right) \\P(x)= (-1)^{^{\displaystyle \sum_{k=1}^{15}k}} \cdot 15!\cdot \prod _{k=1}^{15} \left(\dfrac{(-1)^{k}}{k}+x\right)

\displaystyle P(x)= (-1)^{120} \cdot 15!\cdot \prod _{k=1}^{15} \left(\dfrac{(-1)^{k}}{k}+x\right) = 15!\cdot \prod _{k=1}^{15} \left(x+\dfrac{(-1)^{k}}{k}\right) \\\text{Derajat = D}, D(P(x)) = \sum_{k=1}^{15} 1 = 15

Jika diketahui :

\displaystyle F(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k

Maka rumus Vieta nya adalah :

\displaystyle \sum_{1 \leq k_1 < k_2 < k_3\hdots < k_{p}\leq n} \; \prod_{m=1}^p r_{km} = (-1)^p\cdot \dfrac{a_{n-p}}{a_n} \\\text{dimana : $a_{n-p} = $ koefisien $x^{n-p}$, $a_n = $ koefisien $x^n$, }\\\\ \text{$r_{k_m}$ = akar ke-$k_m$, $r_{k_m} = \dfrac{(-1)^{k_m+1} } { k_m }$}

untuk kombinasi linear akar dengan jumlah posisi = 13 (p = 13), dan n = 15 :

\displaystyle \sum_{1 \leq j_1 < j_2 < j_3\hdots < j_{13}\leq 15} \;\prod_{m=1}^{13} r_{jm} = (-1)^{13}\cdot \dfrac{a_{15-13}}{a_{15}} =- \dfrac{a_{2}}{a_{15}} = -\dfrac{C}{O}\\C = -O\cdot \sum_{1 \leq j_1 < j_2 < j_3\hdots < j_{13}\leq 15} \;\prod_{m=1}^{13} r_{jm}

\displaystyle j_{12}+1\leq j_{13}\leq 15 \to j_{11}+1\leq j_{12}\leq 14 \to\hdots \to j_3+1\leq j_4\leq 4+2 \\\to j_2+1\leq j_3 \leq 3+2\to j_1+1 \leq j_2 \leq 2+2 \to 1 \leq j_1 \leq 1+2\\\\ j_{12}+1\leq j_{13}\leq 15 \to j_{11}+1\leq j_{12}\leq 14 \to\hdots \to j_3+1\leq j_4\leq 6 \\\to j_2+1\leq j_3 \leq 5\to j_1+1 \leq j_2 \leq 4\to 1 \leq j_1 \leq 3\\\\

\displaystyle C = -O \cdot \sum_{j_1=1}^{3}\sum_{j_2=j_1+1}^{4} \sum_{j_3=j_2+1}^{5} \hdots \sum_{j_{11}=j_{10}+1}^{13}\sum_{j_{12} = j_{11}+1}^{14}\sum_{j_{13} = j_{12}+1}^{15} \prod_{m=1}^{13} r_{jm}\\C = 15! \cdot \sum_{j_1=1}^{3}\sum_{j_2=j_1+1}^{4} \sum_{j_3=j_2+1}^{5} \hdots \sum_{j_{11}=j_{10}+1}^{13}\sum_{j_{12} = j_{11}+1}^{14}\sum_{j_{13} = j_{12}+1}^{15} \prod_{m=1}^{13} \dfrac{(-1)^{j_m}}{j_m}

\displaystyle C = 15! \cdot \sum_{j_1=1}^{3}\sum_{j_2=j_1+1}^{4} \sum_{j_3=j_2+1}^{5} \hdots \sum_{j_{11}=j_{10}+1}^{13}\sum_{j_{12} = j_{11}+1}^{14}\sum_{j_{13} = j_{12}+1}^{15} \prod_{m=1}^{13} \dfrac{(-1)^{j_m}}{j_m}\\ C = 15! \cdot \sum_{j_1=1}^{3}\sum_{j_2=j_1+1}^{4} \sum_{j_3=j_2+1}^{5} \hdots \\\sum_{j_{11}=j_{10}+1}^{13}\sum_{j_{12} = j_{11}+1}^{14}\sum_{j_{13} = j_{12}+1}^{15} \dfrac{(-1)^{j_1}}{j_1}\cdot \dfrac{(-1)^{j_2}}{j_2}\cdot \hdots\cdot \dfrac{(-1)^{j_{13}}}{j_{13}}

\displaystyle C = 15! \cdot \sum_{j_1=1}^{3}\sum_{j_2=j_1+1}^{4} \sum_{j_3=j_2+1}^{5} \hdots \sum_{j_{11}=j_{10}+1}^{13}\sum_{j_{12} = j_{11}+1}^{14}\sum_{j_{13} = j_{12}+1}^{15} \dfrac{(-1)^{^{\textstyle\displaystyle \sum_{m=1}^{13}j_m}}}{\displaystyle\prod_{m=1}^{13} j_m}

\boxed{\boxed{ |C| \approx |15! \cdot (-4.4965322743\cdot 10^{-10})| \approx 588}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor4 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 22 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>