Bilangan bulat positif a, b, dan c memenuhi sifat:i) a²

Berikut ini adalah pertanyaan dari nursahel26 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bilangan bulat positif a, b, dan c memenuhi sifat:i) a² dibagi b bersisa c,

ii) b³ dibagi c bersisa a, dan

iii) a + b + c = 10

Sisa pembagian c³ oleh a adalah....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Sisa pembagian $c^3$ oleh $a$ adalah2.
 

Pembahasan

Teori Bilangan

Persoalan

Bilangan bulat positif a, b, dan c memenuhi sifat:

(i) $a^2$ dibagi $b$ bersisa $c$ ,
(ii) $b^3$ dibagi $c$ bersisa $a$ , dan
(iii) $a + b + c = 10$

Sisa pembagian $c^3$ oleh $a$ adalah ...

Penyelesaian

Dari pernyataan (iii) kita tahu bahwa $a, b, c < 10$ .

(i) $a^2$ dibagi $b$ bersisa $c$

$\begin{aligned}&a^2\equiv c\ \:(\!\!\!\!\mod b)\\&\Rightarrow a^2+a+b\equiv(c+a+b)\ \:(\!\!\!\!\mod b)\\&\Rightarrow a^2+a+b\equiv10\ \:(\!\!\!\!\mod b)\\&\Rightarrow a^2+a\equiv10\ \:(\!\!\!\!\mod b)\\&\Rightarrow a(a+1)\equiv10\ \:(\!\!\!\!\mod b)\\&\Rightarrow a(a+1)=kb+10,\ k\in\mathbb{Z}\end{aligned}$

Karena $a$ bilangan bulat positif, maka $a(a+1)=kb+10 \ge 10$ .

$a(a+1)$ adalah perkalian dua bilangan bulat berurutan. Dengan $1 \le a < 10$ , kita mempunyai kemungkinan $a=3\implies 12=2+10$ , $a=4\implies 20=10+10$ , dst.

Pilih $a=3$ , maka kita juga dapat memilih $k=1$ dan $b=2$ , sehingga $12=1\cdot2+10$ .

Periksa pernyataan (ii): $b^3$ dibagi $c$ bersisa $a$ .

$\begin{aligned}b^3&\equiv a\ \:(\!\!\!\!\mod c)\\&(a=3, b=2, c=5)\\\Rightarrow 2^3&\equiv 3\ \:(\!\!\!\!\mod 5)\\\Rightarrow\:\,8&\equiv 3\ \:(\!\!\!\!\mod 5)\\\end{aligned}$

Hal ini benar karena $8=1\cdot5+3$ .

Oleh karena itu, sisa pembagian $c^3$ oleh $a$ dapat dinyatakan oleh

$\begin{aligned}c^3\!\!\mod a\\\Rightarrow c^3\equiv5^3&\equiv(-1)^3\ \:(\!\!\!\!\mod3)\\&\ \ \because\ 5=2\cdot3+(-1)\\&\equiv(-1)\ \:(\!\!\!\!\mod3)\\&\equiv\boxed{\,\bf2\,}\ \:(\!\!\!\!\mod3)\\&\ \ \because\ 2=1\cdot3+(-1)\\\end{aligned}$
 