GEOMETRI BIDANG DATAR

Cari dulu luas lingkaran terkecil, perhatikan segitiga siku siku yang besar diatas, sisi tingginya adalah tali busur 90° atau ½x√2 dan sisi terkecilnya 22,5° maka :

t = tan 22,5° × ½x√2

= tan (45/2) × ½x√2

= (1 -cos 45°)/sin 45° × ½x√2

= (1 -½√2)√2 × ½x√2

= (2 -√2) ½x

= x -½x√2

Cari ¾ luasnya karena lingkaran tsb dipotong ¼ :

L = ¾πr²

= ¾π (x -½x√2)²

= ¾π (3/2 x² -x²√2)

= (9/8 πx² -¾πx²√2)

= (9/8 π -¾π√2) x²

Jari jari lingkaran di dalamnya :

= sin 67,5° × (x -½x√2)

= √(½ + ¼√2) (x -½x√2)

Luas total :

= (9/8 π -¾π√2) x² -¾π (√(½ + ¼√2) (x -½x√2))²

= (9/8 π -¾π√2) x² -¾π (½ + ¼√2) (3/2 x² -x²√2)

= ((9/8 π -¾π√2) -(⅜π + 3/16 π√2)(3/2 -√2)) x²

= ((9/8 π -¾π√2) -(3/16 π + -3/32 π√2)) x²

= (15/16 π -21/32 π√2) x²

Jari jari lingkaran terkecil :

= ½√2 × (x -½x√2)

= ½x√2 -½x

Luas total :

= (15/16 π -21/32 π√2) x² + π(½x√2 -½x)²

= (15/16 π -21/32 π√2) x² + π(¾x² -½x²√2)

= (15/16 π -21/32 π√2 + ¾π -½π√2) x²

= (27/16 π -37/32 π√2) x²

Lalu lihat, itu masih harus dikurangi ½ tembereng 90°, maka :

Luas total :

= (27/16 π -37/32 π√2) x² -½(¼π(½x√2 -½x)² -½(½x√2 -½x)²)

= (27/16 π -37/32 π√2) x² -½(¼π (¾x² -½x²√2) -½(¾x² -½x²√2))

= (27/16 π -37/32 π√2) x² -½(3/16 π -⅛π√2 -⅜ + ¼√2) x²

= (51/32 π -35/32 π√2 + 3/16 -⅛√2) x²

Kalau mau ditambah segitiga siku siku diatas, maka hrus dikurangi 45° tembereng :

L = π(x -½x√2)² × 45/360 -½ (x -½x√2)² sin 45°

= π(3/2 x² -x²√2) × ⅛ -¼√2 (3/2 x² -x²√2)

= (3/16 π -⅛π√2 -⅜√2 + ½) x²

Luas total :

= (51/32 π -35/32 π√2 + 3/16 -⅛√2) x² -(3/16 π -⅛π√2 -⅜√2 + ½) x²

= (45/32 π -31/32 π√2 -5/16 + ¼√2) x²

Lalu tambahkan luas segitiga siku siku diatas :

= ½ alas × tinggi

= ½ (x -½x√2) × (½x√2)

= (½x -¼x√2)(½x√2)

= (¼√2 -¼) x²

Luas total :

= (45/32 π -31/32 π√2 -5/16 + ¼√2) x² + (¼√2 -¼) x²

= (45/32 π -31/32 π√2 -5/16 + ½√2) x² + (¼√2 -¼) x²

= (45/32 π -31/32 π√2 -9/16 + ¾√2) x²

Lalu karena ada segitiga siku siku sama kaki di dekat lingkaran tsb, maka :

Luas total :

= (45/32 π -31/32 π√2 -9/16 + ¾√2) x² + ½(½x -¼x√2)²

= (45/32 π -31/32 π√2 -9/16 + ¾√2) x² + (3/16 -⅛√2) x²

= (45/32 π -31/32 π√2 -⅜ + 5/8 √2) x²

Lalu, tambah lagi segitiga siku siku samakaki yang paling besar, dan luas segitiga sembarang, maka

Luas arsir

= (45/32 π -31/32 π√2 -⅜ + 5/8 √2) x² + ½(¼x√2)² -(⅛ -5/32 √2) x²

= (45/32 π -31/32 π√2 -⅜ + 5/8 √2) x² + 1/16 x² -⅛x² -5/32 x²√2

= (45/32 π -31/32 π√2 -7/16 + 15/32 √2) x²

= 1/32 (45π -31π√2 + 15√2 -14) x²

[Terbukti]✓