Misalkan ℤ6 merupakan suatu grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat

Berikut ini adalah pertanyaan dari zhangan pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Misalkan ℤ6 merupakan suatu grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 6 dan H={0,2,4} adalah suatu subgrup di ℤ6 . Tunjukkan bahwa H adalah suatu subgrup normal dari ℤ6 .

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab: $H$ adalah suatusubgrup normaldari $\mathbb{Z}_6$ .

__________________

Pendahuluan

Struktur Aljabar: Subgrup Normal

Definisi Koset (Coset)

Jika $H$ adalah subgrup dari $G$ , maka:

$\begin{aligned}\sf1.\ &\forall\,a\in G:Ha=\{ha\mid h\in H\}\\&\textsf{disebut koset kanan $H$ dalam $G$.}\\\sf1.\ &\forall\,a\in G:aH=\{ah\mid h\in H\}\\&\textsf{disebut koset kiri $H$ dalam $G$.}\\\end{aligned}$

Definisi Subgrup Normal

Definisi 1: Jika $N$ subgrup dari $G$ , maka $N$ disebutsubgrup normaldari $G$ jika dan hanya jika $gN=Ng,\ \forall\,g\in G$ .
Definisi 2: Jika $N$ subgrup dari $G$ , maka $N$ disebutsubgrup normaldari $G$ jika dan hanya jika $gng^{-1}\in N,\ \forall\, g\in G,\ \forall\,n\in N$ .
Definisi 3: Jika $N$ subgrup dari $G$ , maka $N$ disebutsubgrup normaldari $G$ jika dan hanya jika $gNg^{-1}\subseteq N,\ \forall\,g\in G$ .

__________________

Pembahasan

Persoalan

Misalkan $\mathbb{Z}_6$ merupakan suatu grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 6 dan $H=\{0,2,4\}$ adalah suatu subgrup di $\mathbb{Z}_6$ . Tunjukkan bahwa $H$ adalah suatusubgrup normaldari $\mathbb{Z}_6$ .

PENYELESAIAN

Untuk menunjukkan bahwa $H$ adalah suatu subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6$ , kita harus membuktikan bahwa $Ha=aH$ atau $aH=Ha$ , atau dengan kata lain, koset kanan $H$ dan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ sama.

$\mathbb{Z}_6$ merupakan suatu grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 6. Maka, $\mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ .

Perhatikan bahwa pada modulo 6, $a\:+_6\:b=(a+b)\!\!\mod 6$ .

Sebagai contoh, $1+_6 4=5\!\!\mod 6=5$ .

Namun, $2+_6 4=6\!\!\mod 6=0$ , bukan $6$ .

Kita jabarkan koset kanan $H$ dan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ .

Koset kanan $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ adalah:

$\begin{aligned}\begin{cases}H0=\{0,2,4\}+_6 0=\{0,2,4\}\\H1=\{0,2,4\}+_6 1=\{1,3,5\}\\H2=\{0,2,4\}+_6 2=\{2,4,0\}\\H3=\{0,2,4\}+_6 3=\{3,5,1\}\\H4=\{0,2,4\}+_6 4=\{4,0,2\}\\H5=\{0,2,4\}+_6 5=\{5,1,3\}\end{cases}\end{aligned}$

Sedangkan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ adalah:

$\begin{cases}0H=0+_6\{0,2,4\}=\{0,2,4\}\\1H=1+_6\{0,2,4\}=\{1,3,5\}\\2H=2+_6\{0,2,4\}=\{2,4,0\}\\3H=3+_6\{0,2,4\}=\{3,5,1\}\\4H=4+_6\{0,2,4\}=\{4,0,2\}\\5H=5+_6\{0,2,4\}=\{5,1,3\}\end{cases}$