1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tolong bantu kak Tentukan vektor eigen dari matrik A= 7 0

Berikut ini adalah pertanyaan dari ndinsafa pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong bantu kak
Tentukan vektor eigen dari matrik
A= 7 0 0
0 3 0
0 0 3

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pengertian Eigen vektor : yaitu vektor-vektor yang mana akan sekedar mengalami dilatasi apabila suatu transformasi linear di terapkan pada vektor tersebut

\displaystyle \bold{A}= \left[\begin{array}{ccc}7&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{array}\right]

1. Jawaban singkat nya:

Karena matriks A bersifat diagonal, maka A akan memiliki 3 eigenvalue (2 kembar + 1, 2 kembar karena ada 2 bilangan yang sama di A), dimana tiap eigenvalue = bilangan di matriks A, dan secara otomatis memiliki 3 eigenvektor.

Jika ketiga vektor basis 3 dimensi :

\bold{e_1} = \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}\right] , \bold{e_2} = \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\end{array}\right], \bold{e_3} = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right]

diterapkan transformasi linear A maka akan didapatkan:

\bold{A\cdot e_1} = \left[\begin{array}{ccc}7\\0\\0\end{array}\right] , \bold{A\cdot e_2} = \left[\begin{array}{ccc}0\\3\\0\end{array}\right], \bold{A\cdot e_3} = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\3\end{array}\right]

maka eigenvektor dari a adalah ketiga vektor basis 3 Dimensi

\text{Eigenvektornya :}\\\\\bold{v_1} = \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}\right] , \bold{v_2} = \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\end{array}\right], \bold{v_3} = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right]

\text{solusi lebih umum nya :}\\\bold{v_1} = \left[\begin{array}{ccc}x_1\\0\\0\end{array}\right],\bold{v_2} = \left[\begin{array}{ccc}0\\y_2\\0\end{array}\right],\bold{v_3} = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\z_3\end{array}\right]

2. Jawaban padatnya :

\displaystyle \det(\bold{A-\text{k}\cdot I})=\det(\bold{M})=\left|\begin{array}{ccc}7-k&0&0\\0&3-k&0\\0&0&3-k\end{array}\right| = 0\\\\(7-k)(3-k)^2=0\to k = \{3,7\}\\\\\bold{M_1} = \left[\begin{array}{ccc}7-k_1&0&0\\0&3-k_1&0\\0&0&3-k_1\end{array}\right] \\\\\bold{M_1} = \left[\begin{array}{ccc}7-7&0&0\\0&3-7&0\\0&0&3-7\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&-4&0\\0&0&-4\end{array}\right] \\\\

\bold{M_2} = \left[\begin{array}{ccc}7-k_2&0&0\\0&3-k_2&0\\0&0&3-k_2\end{array}\right] \\\\\bold{M_2} = \left[\begin{array}{ccc}7-3&0&0\\0&3-3&0\\0&0&3-3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right] \\\\

- Eigen vektor 1 :

\bold{M_1\cdot v_1} = \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&-4&0\\0&0&-4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&0\\0&-4&0&0\\0&0&-4&0\end{array}\right] \\\\\left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&0\\0&-4&0&0\\0&0&-4&0\end{array}\right] \xrightarrow{1) -\frac{R_2}{4}\to R_2, \;2) -\frac{R_3}{4}\to R_3}\left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right] \\\\

\left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right] \text{diubah menjadi persamaan :}\\\\1) 0\cdot x_1+0\cdot y_1+0\cdot z_1=0 \to 0=0, x_1 = x_1\\2) y_1=0\\3) z_1 = 0\\\\\text{Eigenvektornya :}\\\\ \Huge{\boxed{\boxed{\bold{v_1} = \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}\right]}}

\text{solusi lebih umum nya :}\\\Huge{\boxed{\boxed{\bold{v_1} = \left[\begin{array}{ccc}x_1\\0\\0\end{array}\right]}}

- Eigen vektor 2 dan 3:

\bold{M_2\cdot v} = \left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c}4&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right] \\\\\left[\begin{array}{ccc|c}4&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]\xrightarrow{1)\frac{R_1}{4}\to R_1}\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right] \\\\

\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right] \text{diubah menjadi persamaan :}\\\\1) x_1=0\\2) \; \&\; 3) y_1=y_1, \;z_1 = z_1\\\\\text{Eigenvektornya :}\\\\ \Huge{\boxed{\boxed{\bold{v_2} = \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\end{array}\right],\bold{v_3} = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right]}}

\text{solusi lebih umumnya :}\\\\\Huge{\boxed{\boxed{\bold{v_2} = \left[\begin{array}{ccc}0\\y_2\\0\end{array}\right],\bold{v_3} = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\z_3\end{array}\right]}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor4 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 31 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>