1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Bisakah kita mencari invers dari[tex] \sf A = \begin{bmatrix} 1

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bisakah kita mencari invers dari \sf A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 & 6 \\ 7 & 0 & 0 2 \\ 5 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{bmatrix}

dengan menggunakan metode gauss Jordan? kalau bisa, bagaimana caranya?

note : \text{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Invers dari matriks A adalah

A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{3}{35} &-\frac{3}{70} &\frac{2}{7} &-\frac{3}{14} \\ \frac{11}{70} &-\frac{81}{140} &\frac{6}{7} &-\frac{11}{28} \\ \frac{19}{35} &-\frac{27}{35} &\frac{8}{7} &-\frac{6}{7} \\ -\frac{3}{10} &\frac{13}{30} &-1 &\frac{3}{4} \end{bmatrix}

PEMBAHASAN

Salah satu metode untuk mencari invers dari suatu matriks adalah dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Pada metode berlaku :

\begin{bmatrix}A &| &I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I &| &A^{-1} \end{bmatrix}

Dengan :

A = matriks A

I = matriks identitas

A^{-1}=invers matriks A

Untuk mengubah bentuk matriks di kiri menjadi matriks di kanan, kita lakukan operasi baris elementer (OBE)

.

DIKETAHUI

A=\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 \\ 7 &0 &0 &2 \\ 5 &3 &0 &3 \\ 1 &4 &2 &6 \end{bmatrix}

.

DITANYA

Tentukan invers dari matriks A.

.

PENYELESAIAN

Kita lakukan OBE hingga matriks disebelah kiri menjadi matriks identitas.

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 7 &0 &0 &2 &| &0 &1 &0 &0 \\ 5 &3 &0 &3 &| &0 &0 &1 &0 \\ 1 &4 &2 &6 &| &0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}

.

> Baris2 ⇒ Baris2 tukar dengan Baris4

> Baris3 ⇒ 5×Baris1 - Baris3

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 1 &4 &2 &6 &| &0 &0 &0 &1 \\ 0 &-3 &25 &27 &| &5 &0 &-1 &0 \\ 7 &0 &0 &2 &| &0 &1 &0 &0 \end{bmatrix}

.

> Baris2 ⇒ Baris1 - Baris2

> Baris4 ⇒ 7×Baris1 - Baris4

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 0 &-4 &3 &0 &| &1 &0 &0 &-1 \\ 0 &-3 &25 &27 &| &5 &0 &-1 &0 \\ 0 &0 &35 &40 &| &7 &-1 &0 &0 \end{bmatrix}

.

> Baris2 ⇒ -1/4×Baris2

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &-\frac{3}{4} &0 &| &-\frac{1}{4} &0 &0 &\frac{1}{4} \\ 0 &-3 &25 &27 &| &5 &0 &-1 &0 \\ 0 &0 &35 &40 &| &7 &-1 &0 &0 \end{bmatrix}

.

Baris3 ⇒ 3×Baris2 + Baris3

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &-\frac{3}{4} &0 &| &-\frac{1}{4} &0 &0 &\frac{1}{4} \\ 0 &0 &\frac{91}{4} &27 &| &\frac{17}{4} &0 &-1 &\frac{3}{4} \\ 0 &0 &35 &40 &| &7 &-1 &0 &0 \end{bmatrix}

.

> Baris 3 ⇒ 4/91×Baris3

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &-\frac{3}{4} &0 &| &-\frac{1}{4} &0 &0 &\frac{1}{4} \\ 0 &0 &1 &\frac{108}{91} &| &\frac{17}{91} &0 &-\frac{4}{91} &\frac{3}{91} \\ 0 &0 &35 &40 &| &7 &-1 &0 &0 \end{bmatrix}

.

> Baris4 ⇒ 35×Baris3 - Baris4

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &-\frac{3}{4} &0 &| &-\frac{1}{4} &0 &0 &\frac{1}{4} \\ 0 &0 &1 &\frac{108}{91} &| &\frac{17}{91} &0 &-\frac{4}{91} &\frac{3}{91} \\ 0 &0 &0 &\frac{20}{13} &| &-\frac{6}{13} &1 &-\frac{20}{13} &\frac{15}{13} \end{bmatrix}

.

> Baris4 ⇒ 13/20×Baris4

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &-\frac{3}{4} &0 &| &-\frac{1}{4} &0 &0 &\frac{1}{4} \\ 0 &0 &1 &\frac{108}{91} &| &\frac{17}{91} &0 &-\frac{4}{91} &\frac{3}{91} \\ 0 &0 &0 &1 &| &-\frac{3}{10} &\frac{13}{20} &-1 &\frac{3}{4} \end{bmatrix}

.

> Baris3 ⇒ Baris3 -108/91×Baris4

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &-\frac{3}{4} &0 &| &-\frac{1}{4} &0 &0 &\frac{1}{4} \\ 0 &0 &1 &0 &| &\frac{19}{35} &-\frac{27}{35} &\frac{8}{7} &-\frac{6}{7} \\ 0 &0 &0 &1 &| &-\frac{3}{10} &\frac{13}{20} &-1 &\frac{3}{4} \end{bmatrix}

.

> Baris 2 ⇒ Baris2 + 3/4×Baris3

\begin{bmatrix}1 &0 &5 &6 &| &1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 &| &\frac{11}{70} &-\frac{81}{140} &\frac{6}{7} &-\frac{11}{28} \\ 0 &0 &1 &0 &| &\frac{19}{35} &-\frac{27}{35} &\frac{8}{7} &-\frac{6}{7} \\ 0 &0 &0 &1 &| &-\frac{3}{10} &\frac{13}{20} &-1 &\frac{3}{4} \end{bmatrix}

.

> Baris1 ⇒ Baris1 - 5×Baris3

\begin{bmatrix}1 &0 &0 &6 &| &-\frac{12}{7} &\frac{27}{7} &-\frac{40}{7} &\frac{30}{7} \\ 0 &1 &0 &0 &| &\frac{11}{70} &-\frac{81}{140} &\frac{6}{7} &-\frac{11}{28} \\ 0 &0 &1 &0 &| &\frac{19}{35} &-\frac{27}{35} &\frac{8}{7} &-\frac{6}{7} \\ 0 &0 &0 &1 &| &-\frac{3}{10} &\frac{13}{20} &-1 &\frac{3}{4} \end{bmatrix}

.

> Baris1 ⇒ Baris1 - 6×Baris4

\begin{bmatrix}1 &0 &0 &0 &| &\frac{3}{35} &-\frac{3}{70} &\frac{2}{7} &-\frac{3}{14} \\ 0 &1 &0 &0 &| &\frac{11}{70} &-\frac{81}{140} &\frac{6}{7} &-\frac{11}{28} \\ 0 &0 &1 &0 &| &\frac{19}{35} &-\frac{27}{35} &\frac{8}{7} &-\frac{6}{7} \\ 0 &0 &0 &1 &| &-\frac{3}{10} &\frac{13}{20} &-1 &\frac{3}{4} \end{bmatrix}

Karena matriks sebelah kiri sudah berupa matriks identitas, maka Invers dari matriks A adalah matriks sebelah kanan, yaitu :

A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{3}{35} &-\frac{3}{70} &\frac{2}{7} &-\frac{3}{14} \\ \frac{11}{70} &-\frac{81}{140} &\frac{6}{7} &-\frac{11}{28} \\ \frac{19}{35} &-\frac{27}{35} &\frac{8}{7} &-\frac{6}{7} \\ -\frac{3}{10} &\frac{13}{30} &-1 &\frac{3}{4} \end{bmatrix}

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Mencari invers matriks dengan OBE : yomemimo.com/tugas/41902520
  2. Mencari determinan matriks dengan OBE : yomemimo.com/tugas/41900252

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kode Kategorisasi: 10.2.2

Kata Kunci : operasi, baris, elementer, gauss-jordan.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 04 Oct 21
<< Previous Post
Next Post >>