1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

membangun vektor di R2​

Berikut ini adalah pertanyaan dari erisukmawan02 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Membangun vektor di R2​
membangun vektor di R2​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab: \overline{u}, \overline{v}, \overline{w} membangun di R².
 

Pembahasan

Vektor dan Ruang Vektor

Diketahui
Vektor-vektor:
\overline{u}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\,,\ \overline{v}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\,,\ \overline{w}=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}

Ditanyakan
Apakah \overline{u}, \overline{v}, \overline{w} membangun di R²?

PENYELESAIAN

Himpunan vektor S=\{\overline{u},\overline{v},\overline{w}\} membangun di R² jika setiap vektor pada R² dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.

Ambil vektor sembarang \overline{a} di R². S=\{\overline{u},\overline{v},\overline{w}\} membangun di R² jika:

\begin{aligned}&k_1\overline{u}+k_2\overline{v}+k_3\overline{w}=\overline{a}\\{\Rightarrow\ }&k_1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}\\{\Rightarrow\ }&\begin{bmatrix}k_1+2k_2+k_3\\2k_1+2k_2+3k_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}\\\end{aligned}

Terbentuk sebuah sistem persamaan:

\begin{cases}k_1+2k_2+k_3=a_1\\ 2k_1+2k_2+3k_3=a_2\end{cases}

Matriks augmentasi (matriks lengkap) untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut adalah:

\begin{aligned}\left(\!\begin{array}{ccc|c}1&2&1&a_1\\2&2&3&a_2\end{array}\!\right)\end{aligned}

Kita olah menjadi baris eselon tereduksi.

\begin{aligned}&\left(\!\begin{array}{ccc|c}1&2&1&a_1\\2&2&3&a_2\end{array}\!\right)\\&...............................................\\&R_2-2R_1\to R_2:\\&\quad\left(\!\begin{array}{ccc|c}1&2&1&a_1\\0&-2&1&-2a_1+a_2\end{array}\!\right)\\&...............................................\\&\frac{R_2}{-2}\to R_2:\\&\quad\left(\!\begin{array}{ccc|c}1&2&1&a_1\\0&1&-\frac{1}{2}&a_1-\frac{1}{2}a_2\end{array}\!\right)\\&...............................................\end{aligned}
\begin{aligned}&R_1-2R_2\to R_1:\\&\quad\left(\!\begin{array}{ccc|c}1&0&2&-a_1+a_2\\0&1&-\frac{1}{2}&a_1-\frac{1}{2}a_2\end{array}\!\right)\\\end{aligned}

Pada matriks baris eselon tereduksi, “rank” (banyak baris tak-nol) dari matriks augmentasi adalah 2. Perhatikan bahwa rank dari matriks koefisien (matriks di sebelah kiri “garis pembatas“), juga sama dengan 2.

Karena rank kedua matriks tersebut sama, maka sistem persamaan di atas adalah sistem persamaan yang konsisten, namun memiliki banyak atau tak hingga solusi, karena nilai rank tidak sama dengan banyak variabel. Nilai rank = 2, sedangkan banyak variabel = 3.
 

KESIMPULAN

∴  Karena sistem persamaan linear konsisten (memiliki solusi), maka dapat disimpulkan bahwa S=\{\overline{u},\overline{v},\overline{w}\} membangun di R².
 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 07 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>