1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui persamaaan [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{12}[/tex] . Banyaknya pasangan

Berikut ini adalah pertanyaan dari ghozalipk4 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui persamaaan \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{12} . Banyaknya pasangan bilangan bulat (a,b) yanng mungkin adalah...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui persamaan
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{12}
Banyaknya pasangan bilangan bulat (a,b)yang mungkin adalah29.
 

Pembahasan

Diberikan persamaan:

\large\text{$\begin{aligned}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}\end{aligned}$}

dengan adanb bilangan bulat.

Maka,

\begin{aligned}&\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}\\&\Rightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{12}\\&\Rightarrow 12(a+b)=ab\\&\Rightarrow ab-12(a+b)=0\\&\quad\to\textsf{tambahkan 144 pada kedua ruas}\\&\Rightarrow ab-12(a+b)+144=144\\&\quad\to\textsf{faktorkan ruas kiri}\\&\Rightarrow ab-12(a+b)+12^2=144\\&\quad\to(a-m)(b-m)=ab-m(a+b)+m^2\\&\Rightarrow (a-12)(b-12)=144\\\end{aligned}

Faktorisasi prima dari 144 adalah 2^4\times3^2, sehingga banyak faktor positif dan negatifdari 144 adalah2\times(4+1)\times(2+1) = 30 faktor.
Oleh karena itu, jika dipasangkan, akan membentuk 30bentuk perkalian(a-12)(b-12)=144.

Perhatikan bahwa –12×(–12) = 144. Pada kondisi ini, (a, b) = (0, 0), yang menyebabkan persamaan awal menjadi tak terdefinisi, karena baik amaupunb adalah penyebut yang tak boleh bernilai 0.

Oleh karena itu, kita harus mengurangkan 1 dari banyak bentuk perkalian faktor dari 144 yang mungkin.
 

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, banyaknya pasangan bilangan bulat (a,b) yang mungkin adalah 30 – 1 = 29.

________________________
 

Tambahan

Faktor dari 144 adalah:
± {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}.

Faktor-faktor positif

  • Untuk 1×144 atau 144×1:
    ⇒ (13, 156), (156, 13)
  • Untuk 2×72 atau 72×2:
    ⇒ (14, 84), (84, 14)
  • Untuk 3×48 atau 48×3:
    ⇒ (15, 60), (60, 15)
  • Untuk 4×36 atau 36×4:
    ⇒ (16, 48), (48, 16)
  • Untuk 6×24 atau 24×6:
    ⇒ (18, 36), (36, 18)
  • Untuk 8×18 atau 18×8:
    ⇒ (20, 30), (30, 20)
  • Untuk 9×16 atau 16×9:
    ⇒ (21, 28), (28, 21)
  • Untuk 12×12:
    ⇒ (24, 24)

Subtotal: 15 pasangan (a, b).

Faktor-faktor negatif

  • Untuk –1×(–144) atau –144×(–1):
    ⇒ (11, –132), (–132, 11)
  • Untuk –2×(–72) atau –72×(–2):
    ⇒ (10, –60), (–60, 10)
  • Untuk –3×(–48) atau –48×(–3):
    ⇒ (9, –36), (–36, 9)
  • Untuk –4×(–36) atau –36×(–4):
    ⇒ (8, –24), (–24, 8)
  • Untuk –6×(–24) atau –24×(–6):
    ⇒ (6, –12), (–12, 6)
  • Untuk –8×(–18) atau –18×(–8):
    ⇒ (4, –6), (–6, 4)
  • Untuk –9×(–16) atau –16×(–9):
    ⇒ (3, –4), (–4, 3)
  • Untuk –12×(–12):
    ⇒ (0, 0) ⇒ invalid / bukan solusi

Subtotal: 14 pasangan (a, b)

∴  TOTAL: 15 + 14 = 29 pasangan (a, b)

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 09 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>