1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

buktikan bahwa 1 pangkat 2 + 3 pangkat 2 +

Berikut ini adalah pertanyaan dari mohadinsuryadin pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

buktikan bahwa 1 pangkat 2 + 3 pangkat 2 + 5 pangkat 2 + ( 2n -1)2 = n (2n -1) (2n -1)/3 adalah benar
buktikan bahwa 1 pangkat 2 + 3 pangkat 2 + 5 pangkat 2 + ( 2n -1)2 = n (2n -1) (2n -1)/3 adalah benar

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti bahwa \displaystyle{\boldsymbol{1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}} }.

PEMBAHASAN

Induksi matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu rumus dalam matematika. Ada 3 tahapan dalam induksi matematika :

1. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1.

2. Mengasumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k.

3. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1.

.

DIKETAHUI

\displaystyle{1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} }

.

DITANYA

Buktikan kebenaran rumus tersebut.

.

PENYELESAIAN

\displaystyle{1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} }

1. Membutkikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1.

Untuk n = 1 :

\displaystyle{1^2=\frac{(1)[2(1)-1][2(1)+1]}{3} }

\displaystyle{1=\frac{(1)(1)(3)}{3} }

\displaystyle{1=1~~(\boldsymbol{benar}) }

Untuk n = 1 bernilai benar.

.

2. Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k.

\displaystyle{1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} }.

.

3. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1.

\displaystyle{1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} }

\displaystyle{1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+[2(k+1)-1]^2=\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3} }\displaystyle{\underbrace{1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2}_{\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}}+(2k+1)^2=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} }

\displaystyle{\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} }

\displaystyle{\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+\frac{3(2k+1)^2}{3}=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} }

\displaystyle{\frac{(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]}{3}=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} }

\displaystyle{\frac{(2k+1)(2k^2-k+6k+3)}{3}=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} }

\displaystyle{\frac{(2k+1)(2k^2+5k+3)}{3}=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} }

\displaystyle{\frac{(2k+1)(2k+3)(k+1)}{3}=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} }

\displaystyle{\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}~~(\boldsymbol{benar}) }

.

Karena ketiga syarat induksi matematika terpenuhi, maka terbukti bahwa \displaystyle{1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} }.

.

KESIMPULAN

Terbukti bahwa \displaystyle{\boldsymbol{1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}} }.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Contoh induksi matematika : yomemimo.com/tugas/42843671
  2. Contoh induksi matematika : yomemimo.com/tugas/42479281
  3. Contoh induksi matematika : yomemimo.com/tugas/42379972

.

DETAIL JAWABAN  

Kelas : 11

Mapel : Matematika  

Bab : Induksi Matematika

Kode Kategorisasi : 11.2.2

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 22 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>