[tex] \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3}

Berikut ini adalah pertanyaan dari EkoXlow pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

$\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + ... + \frac{1}{1 + 2 + 3 + ... + 51} =$ Pake penjelasan ya !

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil dari $\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+51}$ adalah $\boldsymbol{\frac{25}{26}}$ .

PEMBAHASAN

Deret Teleskopik adalah suatu deret bilangan dimana tiap suku pada deret tersebut saling menghilangkan satu sama lain. Karena saling menghilangkan maka jumlah dari deret ini dapat ditentukan dari suku pertama dan terakhir deret saja.

DIKETAHUI

$\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+51}=$

DITANYA

Tentukan hasilnya.

PENYELESAIAN

Misal :

$\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+51}=P$

$\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+51}=P+\frac{1}{1}$

Perhatikan bahwa bagian penyebut merupakan deret aritmatika dengan :

a = 1

b = 1

$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)b]$

$S_n=\frac{n}{2}[2(1)+(n-1)(1)]$

$S_n=\frac{n}{2}(n+1)$

Sehingga suku ke-n dari deret diatas adalah :

$u_n=\frac{1}{S_n}$

$u_n=\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$

$u_n=\frac{2}{n(n+1)}$

Misal :

$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$

$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)}$

$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{(A+B)n+A}{n(n+1)}$

Samakan kedua ruas, kita peroleh :

$A=2$ , dan

$A+B=0$

$B=-A$

$B=-2$

Maka :

$u_n=\frac{2}{n(n+1)}$

$u_n=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$

Kembali ke soal.

$u_1=\frac{1}{1}=\frac{2}{1}-\frac{2}{1+1}=\frac{2}{1}-\frac{2}{2}$

$u_2=\frac{1}{1+2}=\frac{2}{2}-\frac{2}{2+1}=\frac{2}{2}-\frac{2}{3}$

$u_3=\frac{1}{1+2+3}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3+1}=\frac{2}{3}-\frac{2}{4}$

$u_4=\frac{1}{1+2+3+4}=\frac{2}{4}-\frac{2}{4+1}=\frac{2}{4}-\frac{2}{5}$

$u_{50}=\frac{1}{1+2+3+...+50}=\frac{2}{50}-\frac{2}{50+1}=\frac{2}{50}-\frac{2}{51}$

$u_{51}=\frac{1}{1+2+3+...+51}=\frac{2}{51}-\frac{2}{51+1}=\frac{2}{51}-\frac{2}{52}$

Perhatikan bahwa bentuk $u_n$ yang sekarang akan saling menghilangkan satu sama lain ⇒ deret teleskopik.

Sehingga :

$\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+51}=P+\frac{1}{1}$

$\left ( \frac{2}{1}-\frac{2}{2} \right )+\left ( \frac{2}{2}-\frac{2}{3} \right )+\left ( \frac{2}{3}-\frac{2}{4} \right )+\left ( \frac{2}{4}-\frac{2}{5} \right )+...+\left ( \frac{2}{50}-\frac{2}{51} \right )+\left ( \frac{2}{51}-\frac{2}{52} \right )=P+1$