Jawaban:

Pembuktian Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri yang akan dibuktikan:

cos⁴ θ – cos² θ = sin⁴ θ – sin² θ

Untuk pembuktian berikut ini, kita gunakan identitas trigonometri:

sin² θ + cos² θ = 1

⇔ sin² θ = 1 – cos² θ

⇔ cos² θ = 1 – sin² θ

CARA PERTAMA

Pembuktian dari ruas kiri persamaan (ruas kanan tetap)

cos⁴ θ – cos² θ = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ cos² θ(cos² θ – 1) = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ (1 – sin² θ)(cos² θ – 1) = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ (1 – sin² θ)[(1 – sin² θ) – 1] = sin⁴ θ – sin² θ   ....(i)

⇔ (1 – sin² θ)² – (1 – sin² θ) = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ 1 – 2sin² θ + sin⁴ θ – 1 + sin² θ = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ sin⁴ θ – 2sin² θ + sin² θ + 1 – 1 = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ sin⁴ θ + (–2 + 1)sin² θ + 0 = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ sin⁴ θ + (–1)sin² θ = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ sin⁴ θ – sin² θ = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ Ruas kiri = ruas kanan

⇔ qed. (terbukti)

CARA KEDUA

Pembuktian dari ruas kanan persamaan (ruas kiri tetap)

cos⁴ θ – cos² θ = sin⁴ θ – sin² θ

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = sin² θ(sin² θ – 1)

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = (1 – cos² θ)(sin² θ – 1)

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = (1 – cos² θ)[(1 – cos² θ) – 1)]

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = (1 – cos² θ)² – (1 – cos² θ)

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = 1 – 2cos² θ + cos⁴ θ – 1 + cos² θ

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = cos⁴ θ – 2cos² θ + cos² θ + 1 – 1

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = cos⁴ θ + (–2 + 1)cos² θ + 0

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = cos⁴ θ + (–1)cos² θ

⇔ cos⁴ θ – cos² θ = cos⁴ θ – cos² θ

⇔ Ruas kiri = ruas kanan

⇔ qed. (terbukti)

CARA KETIGA

cos⁴ θ – cos² θ = sin⁴ θ – sin² θ

[ pindahkan sin⁴ θ ke ruas kiri, dan – cos² θ ke ruas kanan ]

⇔ cos⁴ θ – sin⁴ θ = cos² θ – sin² θ

[ faktorkan ruas kiri ]

⇔ (cos² θ + sin² θ)(cos² θ – sin² θ) = cos² θ – sin² θ

[ ingat identitas trigonometri di atas ]

⇔ (1)(cos² θ – sin² θ) = cos² θ – sin² θ

⇔ cos² θ – sin² θ = cos² θ – sin² θ

⇔ Ruas kiri = ruas kanan

⇔ qed. (terbukti)