Q. Eutopya -50 poin[tex] \\ [/tex][tex] \sf{tentukan \: nilai \:

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Q. Eutopya -50 poin $\\$
$\sf{tentukan \: nilai \: dari \: limit \: berikut}$
$\displaystyle\sf\lim_{x \to \infty } \sqrt{ {4x}^{2} + 5x - 6} - \sqrt{ {4x}^{2} + 2x}$
$\\ \\ \\$
Btw ada yang bilang Eutopya cheat :D

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai limit tersebut adalah 3/4.

⁣

Pembahasan

Limit

⁣

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+5x-6}-\sqrt{4x^2+2x}\:\right)$

⁣

Cara Pertama: Dengan rumus cepat

Untuk bentuk

$\displaystyle\lim_{x\to\,\infty}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}$

jika $a=p$ , maka “rumus cepat” untuk menghitung nilai limitnya adalah:

$\boxed{\ \lim_{x\to\,\infty}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\ }$

Sehingga:

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+5x-6}-\sqrt{4x^2+2x}\:\right)\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&a=4,\ b=5,\ c=-6\\&p=4,\ q=2,\ r=0\end{aligned}\right.\\&=\frac{5-2}{2\sqrt{4}}\ =\ \frac{3}{2\cdot2}\\&=\boxed{\ \bf\frac{3}{4}\ }\end{aligned}$

⁣

Cara Kedua: Cara Panjang

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+5x-6}-\sqrt{4x^2+2x}\:\right)\\\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+5x-6}-\sqrt{4x^2+2x}\:\right)\times\frac{\sqrt{4x^2+5x-6}+\sqrt{4x^2+2x}}{\sqrt{4x^2+5x-6}+\sqrt{4x^2+2x}}\\\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\cancel{4x^2}+5x-6-\left(\cancel{4x^2}+2x\right)}{\sqrt{4x^2+5x-6}+\sqrt{4x^2+2x}}\right)\\\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x-6}{\sqrt{4x^2+5x-6}+\sqrt{4x^2+2x}}\right)\times\frac{{}^1\!/_x}{{}^1\!/_x}\end{aligned}$

⁣

$\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\dfrac{6}{x}}{\dfrac{\sqrt{4x^2+5x-6}}{x}+\dfrac{\sqrt{4x^2+2x}}{x}}\right)\\\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{4x^2+5x-6}{x^2}}+\sqrt{\dfrac{4x^2+2x}{x^2}}}\right)\\\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\dfrac{6}{x}}{\sqrt{4+\dfrac{5}{x}-\dfrac{6}{x^2}}+\sqrt{4+\dfrac{2}{x}}}\right)\end{aligned}$

⁣

$\begin{aligned}&{=\ }\frac{\lim\limits_{x\to\infty}\left(3-\dfrac{6}{x}\right)}{\sqrt{\lim\limits_{x\to\infty}\left(4+\dfrac{5}{x}-\dfrac{6}{x^2}\right)}+\sqrt{\lim\limits_{x\to\infty}\left(4+\dfrac{2}{x}\right)}}\\\\&{=\ }\frac{3}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}\ =\ \frac{3}{2+2}\\\\&{=\ }\boxed{\ \bf\frac{3}{4}\ }\end{aligned}$