Diketahui persamaan dua buah bola sebagai berikut: Bola 1: [tex]x^2 +

Berikut ini adalah pertanyaan dari SkyBlue1903 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui persamaan dua buah bola sebagai berikut:Bola 1: $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 2z - 6 = 0$
Bola 2: $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y + 5z - 8 = 0$
Buktikan dengan rinci apakah kedua bola diatas berpotongan/bersinggungan/berjauhan !

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan umum bola yang berpusat di titik $(a~,~b~,~c)$ dan berjari-jari $r$ adalah : $\boxed{\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2}}$

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Bola 1 : $\text{B}_1\equiv x^2+y^2+z^2+2x-4y+2z-6=0$

$x^2+2x+y^2-4y+z^2+2z=6$

$\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+\left(z^2+2z+1\right)=6+1+4+1$

$\text{B}_1\equiv (x+1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=12$

Titik pusat bola 1 : $\text{P}_1~(-1~,~2~,~-1)$

Jari-jari bola 1 : $r_1=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3,464$

Bola 2: $\text{B}_2\equiv x^2+y^2+z^2-6x+2y+5z-8=0$

$x^2-6x+y^2+2y+z^2+5z=8$

$\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2+5z+\frac{25}{4}\right)=8+9+1+\frac{25}{4}$

$(x-3)^2+(y+1)^2+\left(z+\frac{5}{2}\right)^2=\frac{97}{4}$

Titik pusat bola 2 : $\text{P}_2~\left(3~,~-1~,~-\frac{5}{2}\right)$

Jari-jari bola 2 : $r_2=\sqrt{\frac{97}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{97}\approx 4,924$

$\\$

Jarak antara pusat bola 1 dan pusat bola 2 :

$\text{P}_1\text{P}_2=\sqrt{(3-(-1))^2+(-1-2)^2+\left(\frac{5}{2}-(-1)\right)^2}$

$\text{P}_1\text{P}_2=\sqrt{4^2+(-3)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2}$

$\text{P}_1\text{P}_2=\sqrt{16+9+\frac{49}{4}}$

$\text{P}_1\text{P}_2=\sqrt{\frac{149}{4}}$

$\text{P}_1\text{P}_2=\frac{1}{2}\sqrt{149}\approx 6,103$

$r_1+r_2\approx 3,464+4,924\approx 8,388$

Karenajarak antara pusat bola 1 dan pusat bola 2 $\left(\text{P}_1\text{P}_2\right)$ lebih kecil daripada jumlah jari-jari kedua bola $\left(r_1+r_2\right)$ $~\to \left\{\text{P}_1\text{P}_2 < \left(r_1+r_2\right)\right\}$ , maka kesimpulannya : $\red{\sf bola~}$ $\red{\sf 1~}$ $\red{\boxed{\boxed{\sf berpotongan}}~}$ $\red{\sf dengan~}$ $\red{\sf bola~}$ $\red{\sf 2}$