1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

tentukan solusi persamaan diferensial y" + 2y + 4y =

Berikut ini adalah pertanyaan dari nabilrafif95 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan solusi persamaan diferensial y" + 2y + 4y = 3cos 33x
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Materi: Persamaan Diferensial Orde 2 Tak Homogen

Jawab:

\tiny{y=e^{-x}(C_1\cos{x\sqrt{3}}+C_2\sin{x\sqrt{3}})-\frac{\sqrt{3}}{13}\sin{2x\sqrt{3}}\cos{x\sqrt{3}}+\frac{6}{13}\cos{2x\sqrt{3}}\cos{x\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x\sqrt{3}}+\frac{3}{13}\sin{2x\sqrt{3}}\sin{x\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{26}\cos{2x\sqrt{3}}\sin{x\sqrt{3}}+C}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Mungkin maksudmu begini ya

y" + 2y' + 4y = 3 cos √3x

Persamaan ini dapat diselesaikan menggunakan metode variasi parameter.

Solusi: y = yh + yp

+ Akar karakteristik dari persamaan ini adalah:

r² + 2r + 4 = 0

r² + 2r = -4

r² + 2r + 1 = -4 + 1

(r+1)² = -3

r+1 = ±√-3

r = -1 ± i√3

Karena akarnya imajiner, maka solusi homogennya adalah:

y_h=e^{-x}(C_1\cos{x\sqrt{3}}+C_2\sin{x\sqrt{3}})

+ Sekarang, untuk mencari solusi tidak homogennya (yp), misalkan:

\tiny{\begin{aligned}\\y_p&= uy_1 + vy_2\\y_1&= e^{-x}\cos{x\sqrt{3}}\\y_1' &= -e^{-x}\cos{x\sqrt{3}} - \sqrt{3}e^{-x}\sin{x\sqrt{3}}\\y_2 &= e^{-x}\sin{x\sqrt{3}}\\y_2' &= -e^{-x}\sin{x\sqrt{3}} + \sqrt{3}e^{-x}\cos{x\sqrt{3}}\end{aligned}}

Pertama tama cari dahulu Wronskiannya dengan:

\tiny{\begin{aligned}\\W &= y_1. y_2' - y_1'. y_2\\W &= (e^{-x}\cos{x\sqrt{3}})(-e^{-x}\sin{x\sqrt{3}} + √3 e^{-x}\cos{x\sqrt{3}}) - (-e^{-x}\cos{x\sqrt{3}} - √3 e^{-x}\sin{x\sqrt{3}})(e^{-x}\sin{x\sqrt{3}})\\W &= -e^{-2x}\cos{x\sqrt{3}}\sin{x\sqrt{3}} + √3e^{-2x}\cos²{x\sqrt{3}} + e^{-2x}\cos{x\sqrt{3}}\sin{x\sqrt{3}} + √3e^{-2x}\sin²{x\sqrt{3}}\\W &= √3e^{-2x}(\cos²{x\sqrt{3}} +\sin²{x\sqrt{3}})\\W &= √3e^{-2x}\end{aligned}}

Setelah itu, tentukan u dan v.

\tiny{\begin{aligned}\\u&=-\int{\frac{y_2.r(x)}{W}\,dx}\\u&=-\int{\frac{(e^{-x}\sin{x\sqrt{3}})(3\cos{\sqrt{3}x})}{\sqrt{3}e^{-2x}}\,dx}\\u&=-\sqrt{3}\int{(e^{x}\sin{2x\sqrt{3}})\,dx}\\u&=-\frac{\sqrt{3}}{13}e^{x}(\sin{2x\sqrt{3}}-2\sqrt{3}\cos{2x\sqrt{3}})\end{aligned}}

dan

\tiny{\begin{aligned}\\v&=\int{\frac{y_1.r(x)}{W}\,dx}\\v&=\int{\frac{(e^{-x}\cos{x\sqrt{3}})(3\cos{\sqrt{3}x})}{\sqrt{3}e^{-2x}}\,dx}\\v&=\sqrt{3}\int{e^{x}\cos^2{x\sqrt{3}}\,dx}\\v&=\sqrt{3}\int{e^{x}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{2x\sqrt{3}}\right)\,dx}\\v&=\frac{1}{2}\sqrt{3}\int{(e^{x}+e^{x}\cos{2x\sqrt{3}})\,dx}\\v&=\frac{\sqrt{3}}{2}(e^{x}+\frac{1}{13}e^{x}(2\sqrt{3}\sin{2x\sqrt{3}}+\cos{2x\sqrt{3}}))\end{aligned}}

Selanjutnya, substitusi u dan v kepada yp, sehingga:

\tiny{\begin{aligned}\\y_p&=\left(-\frac{\sqrt{3}}{13}e^{x}(\sin{2x\sqrt{3}}-2\sqrt{3}\cos{2x\sqrt{3}})\right)(e^{-x}\cos{x\sqrt{3}})+\frac{\sqrt{3}}{2}(e^{x}+\frac{1}{13}e^{x}(2\sqrt{3}\sin{2x\sqrt{3}}+\cos{2x\sqrt{3}}))(e^{-x}\sin{x\sqrt{3}})\\y_p&=-\frac{\sqrt{3}}{13}\sin{2x\sqrt{3}}\cos{x\sqrt{3}}+\frac{6}{13}\cos{2x\sqrt{3}}\cos{x\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x\sqrt{3}}+\frac{3}{13}\sin{2x\sqrt{3}}\sin{x\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{26}\cos{2x\sqrt{3}}\sin{x\sqrt{3}}+C\end{aligned}}

Jadi, solusi PD tersebut adalah:

\tiny{y=e^{-x}(C_1\cos{x\sqrt{3}}+C_2\sin{x\sqrt{3}})-\frac{\sqrt{3}}{13}\sin{2x\sqrt{3}}\cos{x\sqrt{3}}+\frac{6}{13}\cos{2x\sqrt{3}}\cos{x\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x\sqrt{3}}+\frac{3}{13}\sin{2x\sqrt{3}}\sin{x\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{26}\cos{2x\sqrt{3}}\sin{x\sqrt{3}}+C}

Semoga membantu.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh Adjie564 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 26 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>