tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri - √3 cos x

Berikut ini adalah pertanyaan dari mawang5664 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri - √3 cos x - 3 sin x = √ 3 , -90° ≤ x ≤ 270°

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\rm -\sqrt{3}cos~x-3sin~x = \sqrt{3}$ , -90° ≤ x ≤ 360 adalah {-60° , 180°}.

Pendahuluan :

$\bf\blacktriangleright Pengertian:$

Trigonometri adalah ilmu matematika yang mempelajari mengenai sudut. Contoh dari sudut yang akan dipelajari : sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.

$\\$

$\bf\blacktriangleright Persamaan~Trigonometri~Umum :$

• $\rm sin~x = sin~\alpha$

Kemungkinan 1 : x = α + k.360

Kemungkinan 2 : x = (180-α) + k.360

• $\rm cos~x = cos~\alpha$

Kemungkinan 1 : x = α + k.360

Kemungkinan 2 : x = -α + k.360

• $\rm tan~x = tan~\alpha$

Kemungkinan 1 : x = α + k.180

$\\$

$\bf\blacktriangleright cos(x+\alpha) \pm cos(x-\alpha) = c ~dan~sin(x+\alpha)\pm sin(x-\alpha) = c :$

• $\rm sin(A+B)+sin(A-B) = 2sin~A.cos~B$

• $\rm sin(A+B)-sin(A-B) = 2cos~A.sin~B$

• $\rm cos(A+B)+cos(A-B) = 2cos~A.cos~B$

• $\rm cos(A+B)-cos(A-B) = -2sin~A.sin~B$

$\\$

$\bf\blacktriangleright ax+bx = 0:$

• $\rm sin~A+sin~B = 2sin\frac{1}{2}(A+B)cos\frac{1}{2}(A-B)$

• $\rm sin~A-sin~B = 2cos\frac{1}{2}(A+B)sin\frac{1}{2}(A-B)$

• $\rm cos~A+cos~B = 2cos\frac{1}{2}(A+B)cos\frac{1}{2}(A-B)$

• $\rm cos~A-cos~B = -2sin\frac{1}{2}(A+B)sin\frac{1}{2}(A-B)$

$\\$

$\bf\blacktriangleright acos~x+bsin~x :$

• $\rm k~cos(x-\alpha)$

• $\rm k~cos(x+\alpha)$

• $\rm k~sin(x+\alpha)$

• $\rm k~sin(x-\alpha)$

k diperoleh dari : $\rm \sqrt{a^2+b^2}$

α diperoleh dari : $\rm tan~\alpha =\frac{b}{a}$

dimana : a adalah koefisien cos dan b koeofisien sin

$\\$

$\bf\blacktriangleright sin(A\pm B)~dan~cos(A\pm B) :$

• $\rm sin(A+B) = sinA.cosB+cosA.sinB$

• $\rm sin(A-B) = sinA.cosB-cosA.sinB$

• $\rm cos(A+B) = cosA.cosB-sinA.sinB$

• $\rm cos(A-B) = cosA.cosB+sinA.sinB$

$\\$

$\bf\blacktriangleright Tabel~Trigonometri:$

$\rm{\boxed{ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \underline {{}\alpha} &\underline{\bf 0^o}&\underline{\bf 30^o}& \underline{\bf 45^o}&\underline{\bf 60^o}&\underline{\bf 90^o} \\\\ \bf sin~\alpha & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} & 1 \\\\ \bf cos~\alpha & 1 & \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2} & 0 \\\\ \bf tan~\alpha & 0 & \frac{1}{3}\sqrt{3} & 1 & \sqrt{3} & \infty \end{array}}}$

•Kuadran I (0° ≤ α ≤ 90°) = semua +

•Kuadran II (90°≤ α ≤ 180°) = sin +

•Kuadran III (180° ≤ α ≤ 270°) = tan +

•Kuadran IV (270° ≤ α ≤ 360°) = cos +

•Fungsi tetap 180 ± α atau 360 ± α

•Fungsi berubah 90 ± α atau 270 ± α (sin menjadi cos, cos menjadi sin, tan menjadi cotan)

Pembahasan :

Diketahui :

$\rm -\sqrt{3}cos~x-3sin~x = \sqrt{3}$
-90° ≤ x ≤ 360

Ditanya :

HP?

Jawab :

Kita ubah dahulu persamaan di ruas kiri menjadi k cos(x-α) :

$\rm -\sqrt{3}cos~x-3sin~x = \sqrt{3}$

a = -√3

b = -3

$\rm k = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-3)^2}= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Nilai α :

$\rm tan~\alpha = \frac{b}{a} = \frac{-3}{-\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ , nilai tan dari √3 adalah 60. Aturan kuadran III karena sin dan cos bernilai negatif (180+60) = 240