Tentukan integral tak tentu dari fungsi-fungsi berikut?

Berikut ini adalah pertanyaan dari mhmmdrizki15 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil dari $\sf{\int (2x^{2} + 1) (2x^{3} + 3x -5)^{3} \: dx }$ adalah :

$\boxed{\sf 1 \frac{1}{3}x^{12} + 8x^{10} - 13 \frac{1}{3}x^{9} + 18x^{8} - 60x^{7} + 68x^{6} - 90x^{5} + 156 \frac{3}{4}x^{4} - 128 \frac{1 }{3}x^{3} + 112 \frac{1}{2}x^{2} - 125x + C}$

atau :

$\boxed{\sf \frac{1}{12} (2x^{3} + 3x - 5)^{4} + C}$

$\:$

Pembahasan

Integral adalah suatu konseptual matematika yang merupakan antonim (kebalikan) dari fungsi ( f(x) ). Berikut sifat-sifat integral :

$\pink{\displaystyle{\sf1.~\int k~dx=kx+C}}$

$\pink{\displaystyle{\sf2.~\int ax^n~dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+C}}$

$\pink{\displaystyle{\sf3.~\int\dfrac{a}{f(x)}~dx=a~ln~|f(x)|+C}}$

$\pink{\displaystyle{\sf4.~\int k\cdot f(x)~dx=k\int f(x)~dx}}$

$\pink{\displaystyle{\sf5.~\int f(x)+g(x)~dx=\int f(x)~dx+\int g(x)~dx}}$

$\pink{\displaystyle{\sf6.~\int f(x)-g(x)~dx=\int f(x)~dx-\int g(x)~dx}}$

$\pink{\displaystyle{\sf7.~\int sin~x~dx=-cos~x+C}}$

$\pink{\displaystyle{\sf8.~\int cos~x~dx=sin~x+C}}$

$\pink{\displaystyle{\sf9.~\int ax^{n}~dx=\frac{a}{n + 1}x^{n+1}+C}}$

$\:$

Diketahui

$\Large{\sf{\int (2x^{2} + 1) (2x^{3} + 3x -5)^{3} \: dx}}$

$\:$

Ditanyakan

Hasilnya = ...?

$\:$

Penjelasan

$\sf \int (2x^{2} + 1) (2x^{3} + 3x -5)^{3}$

$\sf= \int (2x^{2} + 1)( (2x^{3} + 3x -5) (2x^{3} + 3x -5) (2x^{3} + 3x -5) )$

$\sf{= \int (2x^{2} + 1)(8x^{9} + 36x^{7} - 60x^{6} + 54x^{5} - 180x^{4} + 177x^{3} - 135x^{2} + 225x - 125)}$

$\sf = \int ( (2x^{2} . 8x^{9}) + (2x^{2} . 36x^{7}) - (2x^{2} . 60x^{6}) + (2x^{2} . 54x^{5} ) - (2x^{2} . 180x^{4} ) + (2x^{2} . 177x^{3} ) - (2x^{2} . 135x^{2}) + (2x^{2} . 225x) - (2x^{2} - 125) + 8x^{9} + 36x^{7} - 60x^{6} + 54x^{5} - 180x^{4} + 177x^{3} - 135x^{2} + 225x - 125 )$

$\sf= \int ( 16x^{11} + 72x^{9} - 120x^{8} + 108x^{7} - 360x^{6} + 354x^{5} - 270x^{4} + 450x^{3} - 250x^{2} + 8x^{9} + 36x^{7} - 60x^{6} + 54x^{5} - 180x^{4} + 177x^{3} - 135x^{2} + 225x - 125 )$

$\sf = \int (16x^{11} + 72x^{9} + 8x^{9} - 120x^{8} + 108x^{7} + 36x^{7} - 360x^{6} - 60x^{6} + 354x^{5} + 54x^{5} - 270x^{4} - 180x^{4} + 450x^{3} + 177x^{3} - 250x^{2} - 135x^{2} + 225x - 125 )$

$\sf = \int (16x^{11} + 80x^{9} - 120x^{8} + 144x^{7} - 420x^{6} + 408x^{5} - 450x^{4} + 627x^{3} - 385x^{2} + 225x - 125)$

$\:$

Ubah bentuknya :

$\sf \int (16x^{11} + 80x^{9} - 120x^{8} + 144x^{7} - 420x^{6} + 408x^{5} - 450x^{4} + 627x^{3} - 385x^{2} + 225x - 125)$

$\sf = \int 16x^{11} + \int 80x^{9} - \int 120x^{8} + \int 144x^{7} - \int 420x^{6} + \int 408x^{5} - \int 450x^{4} + \int 627x^{3} - \int 385x^{2} + \int 225x - \int 125 + C$

$\sf = \frac{16}{11 + 1}x^{11+1} + \frac{80}{9 + 1}x^{9+1} - \frac{120}{8 + 1}x^{8+1} + \frac{144}{7 + 1}x^{7+1} - \frac{420}{6 + 1}x^{6 +1} + \frac{408 }{5 + 1}x^{5+1} - \frac{450}{4 + 1}x^{4+1} + \frac{627}{3 + 1}x^{3 +1} - \frac{385 }{2 + 1}x^{2+1} + \frac{225}{1 + 1}x^{1+1} - \frac{125}{0 +1}x^{0+1} + C$

$\sf = \frac{16}{12}x^{12} + \frac{80}{10}x^{10} - \frac{120}{9}x^{9} + \frac{144}{8}x^{8} - \frac{420}{7}x^{7} + \frac{408 }{6}x^{6} - \frac{450}{5}x^{5} + \frac{627}{4}x^{4} - \frac{385 }{3}x^{3} + \frac{225}{2}x^{2} - \frac{125}{1}x + C$

$\sf = 1 \frac{4}{12}x^{12} + 8x^{10} - 13 \frac{3}{9}x^{9} + 18x^{8} - 60x^{7} + 68x^{6} - 90x^{5} + 156 \frac{3}{4}x^{4} - 128 \frac{1 }{3}x^{3} + 112 \frac{1}{2}x^{2} - 125x + C$

$\sf = 1 \frac{1}{3}x^{12} + 8x^{10} - 13 \frac{1}{3}x^{9} + 18x^{8} - 60x^{7} + 68x^{6} - 90x^{5} + 156 \frac{3}{4}x^{4} - 128 \frac{1 }{3}x^{3} + 112 \frac{1}{2}x^{2} - 125x + C$