Tentukan persamaan garis singgung kurva [tex]y = x

Berikut ini adalah pertanyaan dari irwanalgunawan11 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x ^{2} - 2x + 3$
dititik (-1,2) dan (2,0)
Mohon dibantu dengan cara pengerjaannya

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Kurva (parabola) : $y=x^2-2x+3$

$\huge{\green{a.}}$ Titik $(-1~,~2)$ :

Memeriksa kedudukan titik terhadap kurva :

$(-1)^2-2.(-1)+3=1+2+3=6\to \ne 2$

Titik $(-1~,~2)$ tidak beradaataudi luar kurva tersebut.

Dimisalkanpersamaan garis singgung parabola yang melalui titik $(-1~,~2)$ adalah $y=mx+c$ .

Substitusikan titik $(-1~,~2)$ ke dalam persamaan garis singgung $(x=-1~;~y=2)$ :

$2=m.(-1)+c$

$2=-m+c\to c=m+2$

Substitusikan nilai $c=m+2$ ke persamaan garis singgung :

$y=mx+c$

$y=mx+m+2~...~(~i~)$

Substitusikan nilai $y=mx+m+2$ ke dalam persamaan kurva :

$y=x^2-2x+3$

$mx+m+2=x^2-2x+3$

$x^2-2x-mx+3-m-2=0$

$x^2-(2+m)x+(1-m)=0$

Didapatkanpersamaan kuadrat dengan $a=1~;~$ $b=-(2+m)~;~$ dan $~c=(1-m)$

Syarat suatu garis menyinggung kurva :

$\text{D}=0$

$b^2-4.a.c=0$

$(-(2+m))^2-4.(1).(1-m)=0$

$4+4m+m^2-4+4m=0$

$m^2+8m=0$

$m(m+8)=0$

$m=0~~~dan~~~m=-8$

» Untuk $m=0$ :

Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaan $(~i~)$ :

$y=mx+m+2$

$y=(0)x+0+2\to~\huge{y=2}$

» Untuk $m=-8$ :

Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaan $(~i~)$ :

$y=-8x+(-8)+2\to~\huge{y=-8x-6}$

Jadi, persamaan garis singgung kurva $y=x^2-2x+3$ yang melalui titik $(-1~,~2)$ adalah $~\red{\huge{y=2}}~$ dan $~\red{\huge{y=-8x-6}}$

$\\$

$\huge{\green{b.}}$ Titik $(2~,~0)$ :

Memeriksa kedudukan titik terhadap kurva :

$2^2-2.(2)+3=4+4+3=3\to \ne 0$

Titik $(2~,~0)$ tidak beradaataudi luar kurva tersebut.

Dimisalkan persamaan garis singgung parabola yang melalui titik $(2~,~0)$ adalah $y=mx+c$ .

Substitusikan titik $(2~,~0)$ ke dalam persamaan garis singgung $(x=2~;~y=0)$ :

$0=m.(2)+c$

$0=2m+c\to c=-2m$

Substitusikan nilai $c=-2m$ ke persamaan garis singgung :

$y=mx+c$

$y=mx-2m~...~(~i~)$

Substitusikan nilai $y=mx-2m$ ke dalam persamaan kurva :

$y=x^2-2x+3$

$mx-2m=x^2-2x+3$

$x^2-2x-mx+3+2m=0$

$x^2-(2+m)x+(3+2m)=0$

Didapatkanpersamaan kuadrat dengan $a=1~;~$ $b=-(2+m)~;~$ dan $~c=(3+2m)$

Syarat suatu garis menyinggung kurva :

$\text{D}=0$

$b^2-4.a.c=0$

$(-(2+m))^2-4.(1).(3+2m)=0$

$4+4m+m^2-12-8m=0$

$m^2-4m-8=0$

$m^2-4m=8$

$m^2-4m+4=8+4$

$(m-2)^2=12$

$(m-2)=\sqrt{12}$

$m-2=±2\sqrt{3}$

$m=2±2\sqrt{3}$

$m=2-2\sqrt{3}~~~dan~~~m=2+2\sqrt{3}$

» Untuk $m=2-2\sqrt{3}$ :

Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaan $(~i~)$ :

$y=mx-2m$

$y=\left(2-2\sqrt{3}\right)x-2\left(2-2\sqrt{3}\right)$

$\to \boxed{y=\left(2-2\sqrt{3}\right)x-4+4\sqrt{3}}$

» Untuk $m=2+2\sqrt{3}$ :

Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaan $(~i~)$ :

$y=mx-2m$

$y=\left(2+2\sqrt{3}\right)x-2\left(2+2\sqrt{3}\right)$

$\to \boxed{y=\left(2+2\sqrt{3}\right)x-4-4\sqrt{3}}$

Jadi, persamaan garis singgung kurva $y=x^2-2x+3$ yang melalui titik $(2~,~0)$ adalah $~\boxed{\boxed{\red{y=\left(2-2\sqrt{3}\right)x-4+4\sqrt{3}}}}~$ dan $~\boxed{\boxed{\red{y=\left(2+2\sqrt{3}\right)x-4-4\sqrt{3}}}}$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh WillyJember dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 22 Jul 21

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Tentukan persamaan garis singgung kurva [tex]y = x

Jawaban dan Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika