garis singgung pada lingkaran (x-1)²+(y+1)²=2 di titik (3,1) juga menyinggung

Berikut ini adalah pertanyaan dari alenna1 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

garis singgung pada lingkaran (x-1)²+(y+1)²=2 di titik (3,1) juga menyinggung lingkaran lain yang berpusat di (4,6). persamaan lingkaran tersebut adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Dimisalkan persamaan garis singgung lingkaran adalah : $y=mx+n,~$ maka :

Substitusikan titik $(3~,~1)~$ ke persamaan garis singgung lingkaran :

$1=3m+n~\to n=1-3m$

Sehingga persamaan garis singgung lingkaran menjadi : $\boxed{y=mx+1-3m}$

Substitusikan persamaan garis singgung lingkaran ke persamaan lingkaran $\text{L}_1$

$(x-1)^2+(y+1)^2=2$

$(x-1)^2+(mx+1-3m+1)^2=2$

$(x-1)^2+(mx-3m+2)^2=2$

$\left(m^2+1\right)x^2-\left(6m^2x-4m+2\right)x+\left(9m^2-12m+3\right)+4-2=0$

Didapatkan sebuah persamaan kuadrat dengan :

$\huge{\to}$ $\begin{cases}a=m^2+1\\b=-\left(6m^2-4m+2\right)\\c=9m^2-12m+3\end{cases}$

Syarat garis singgung : diskriminan = 0

$b^2-4ac=0$

$\left(-\left(6m^2-4m+2\right)\right)^2-4\left(m^2+1\right)\left(9m^2-12m+3\right)=0$

$\left(36m^4-48m^3+40m^2-16m+4\right)-\left(36m^4-48m^3+48m^2-48m+12\right)=0$

$-8m^2+32m-8=0$

$m^2-4m+1=0$

$m^2-4m=-1$

$m^2-4m+4=-1+4$

$(m-2)^2=3$

$m-2=±\sqrt{3}~\to \huge{m=2±\sqrt{3}}$

$\huge{a~)~}$ Untuk $m=2-\sqrt{3},~$ didapatkan persamaan garis singgungnya adalah : $\green{\text{G}_1\equiv y=\left(2-\sqrt{3}\right)x+3\sqrt{3}-5}$ , dan garis yang tegak lurus dengan garis ini mempunyai gradien : $m_2=\frac{1}{\sqrt{3}-2},~$ sehingga persamaan garis yang mempunyai gradien $m_2~$ dan melewati titik pusat $(4~,~6)~$ adalah : $\purple{\text{G}_2\equiv y=6+\frac{1}{\sqrt{3}-2}(x-4)}$

Titik potong antara $\green{\text{G}_1}~$ dan $\purple{\text{G}_2}~$ :

$\left(2-\sqrt{3}\right)x+3\sqrt{3}-5=6+\frac{1}{\sqrt{3}-2}(x-4)$

$\left(2-\sqrt{3}\right)x+3\sqrt{3}-5=6-\frac{1}{2-\sqrt{3}}(x-4)$

$\left(2-\sqrt{3}\right)^2x+\left(3\sqrt{3}-5\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=6\left(2-\sqrt{3}\right)-(x-4)$

$\left(7-4\sqrt{3}\right)x+11\sqrt{3}-19=16-6\sqrt{3}-x$

$\left(8-4\sqrt{3}\right)x=35-17\sqrt{3}$

$x=\frac{35-17\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}}$

$y=\left(2-\sqrt{3}\right)x+3\sqrt{3}-5$

$y=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(\frac{35-17\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}}\right)+3\sqrt{3}-5$

$y=\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(35-17\sqrt{3}\right)+\left(8-4\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{3}-5\right)}{8-4\sqrt{3}}$

$y=\frac{45-25\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}}$

Titik potong : $\left(\frac{35-17\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}}~,~\frac{45-25\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}}\right)$

$r^2=\left(\frac{35-17\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}}-4\right)^2+\left(\frac{45-25\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}}-6\right)^2$

$r^2=\left(\frac{35-17\sqrt{3}-4\left(8-4\sqrt{3}\right)}{8-4\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{45-25\sqrt{3}-6\left(8-4\sqrt{3}\right)}{8-4\sqrt{3}}\right)^2$

$r^2=\frac{\left(3-\sqrt{3}\right)^2+\left(-3-\sqrt{3}\right)^2}{\left(8-4\sqrt{3}\right)^2}$

$r^2=\frac{24}{16\left((7-4\sqrt{3}\right)}=\frac{3}{14-8\sqrt{3}}$

Maka persamaan lingkaran tersebut adalah :

$\boxed{\red{\text{L}_2\equiv (x-4)^2+(y-6)^2=\frac{3}{14-8\sqrt{3}}}}$

$\huge{b~)~}$ Untuk $m=2+\sqrt{3},~$ didapatkan persamaan garis singgung : $\green{\text{G}_3\equiv y=\left(2+\sqrt{3}\right)x+1-3\left(2+\sqrt{3}\right)}$ , dan garis yang tegak lurus dengan garis ini mempunyai gradien : $m_3=-\frac{1}{2+\sqrt{3}},~$ sehingga persamaan garis yang mempunyai gradien $m_3~$ dan melewati titik pusat $(4~,~6)~$ adalah : $\purple{\text{G}_4\equiv y=6-\frac{1}{2+\sqrt{3}}(x-4)}$