Tolong banget, bantuin jawab dong

Berikut ini adalah pertanyaan dari alifsams pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

1. $y=\sqrt{x^2+6x+3$

Gunakan aturan rantai; turunan fungsi dalam kali turunan fungsi luar:

$y'=\underbrace{(2x+6)}_\text{Turunan dalam} \left( \:\underbrace{\frac{1}{2}(x^2+6x+3)^{-1/2}}_\text{Turunan luar}\right)$

$\displaystyle y'=(x+3)\frac{1}{\sqrt{x^2+6x+3} }$

$\displaystyle y'=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+3} }$

2. Salah satu cara mencari $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ adalah dengan menggunakan aturan rantai:

Perhatikan bahwa:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$

(Kita bisa coret kedua dt pada ruas kanan dan mengembalikannya lagi menjadi bentuk dy/dx).

Lalu, kita bisa ubah dt/dx menjadi bentuk dx/dt dengan:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$

Maka, dari sini bisa kita dapatkan:

Untuk suatu fungsi parameter x(t) dan y(t), turunan y terhadap x (dy/dx) dapat dicari dengan membagi dy/dt dengan dx/dt.

$y(t)=2t^3-6$

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=6t^2$

$x(t)=t^2+2t$

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t+2$

Maka, untuk dy/dx:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{6t^2}{2t+2}$

Maka,

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3t^2}{t+1}$

3. Diketahui:

$V=64\:\mathrm{cm}^3$

Diminta mencari luas permukaan minimum (silinder terbuka).

Volume untuk silinder adalah:

$V=\pi r^2h$

Sedangkan luas untuk silinder adalah:

$L=\pi r^2+\underbrace{2\pi r}_\text{panjang\:selimut} \overbrace{h}^\text{lebar\:selimut}$

$L=\pi r^2+2\pi rh$ (Asumsi silinder hanya tertutup pada alas saja (atas silinder terbuka)

Sekarang, kita akan gunakan rumus dari volume untuk menyatakan h dalam r.

$V=\pi r^2h$

$64=\pi r^2h$

$\displaystyle h=\frac{64}{\pi r^2}$

Substitusikan nilai h ini pada rumus luas permukaan kita:

$L=\pi r^2+2\pi rh$

$\displaystyle L=\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{64}{\pi r^2}$

$\displaystyle L=\pi r^2+\frac{128}{r}$

Untuk mencari luas maksimum, kita buat turunan L=0.

$L'=0$

$\displaystyle 2\pi r-\frac{128}{r^2}=0$

$\displaystyle \pi r=\frac{64}{r^2}$

$\displaystyle r^3=\frac{64}{\pi}$

$\displaystyle r=\frac{4}{\sqrt[3]{\pi} }$

Kita dapat pula nilai untuk h:

$\displaystyle h=\frac{64}{\pi r^2}=\frac{64}{\pi\cdot \left(\frac{4}{\pi^{1/3}} \right)^2}$

$\displaystyle h=\frac{64\cdot \pi^{1/3}}{16\pi}$

$\displaystyle h=\frac{4}{\sqrt[3]{\pi^2} }$

Maka, silinder kita akan memiliki jari-jari $\displaystyle r=\frac{4}{\sqrt[3]{\pi} }$ dan tinggi $\displaystyle h=\frac{4}{\sqrt[3]{\pi^2} }$ , dengan Luas permukaan:

$\displaystyle L=\pi r^2+\frac{128}{r}$ (substitusi nilai r)

$L=48\sqrt[3]{\pi}\: \mathrm{m}^2$

4. Diberi persamaan:

$x^2y-xy^2+x^2+y^2=0$

Kita turunkan terhadap x pada kedua sisi:

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^2y-xy^2+x^2+y^2\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[0\right]$

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^2y-xy^2+x^2+y^2\right]=0$

Kita pecah turunannya menjadi:

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^2y]-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[xy^2]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^2]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[y^2]=0$

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^2y]-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[xy^2]+2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[y^2]=0$

Gunakan aturan rantai:

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^2y]-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[xy^2]+2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[y^2]=0$

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^2y]-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[xy^2]+2x+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}[y^2]=0$