Penjelasan dengan langkah-langkah:

1). f(x) = x⁴ - 2x²

f(x) berada di titik stasioner bila f'(x) = 0

f'(x) = 4x³ - 4x

4x³ - 4x = 0

[Faktorkan]

4x (x² - 1) = 0

x (x² - 1) = 0

• x = 0

• x² - 1 = 0 --> x = 1; x = -1

Jadi, x = -1; x = 0; x = 1. Atau dengan kata lain kurva f(x) berada di titik stasioner ketika x = -1, x = 0, dan x = 1.

Untuk nilai stasionernya dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai x pada f(x).

a. x = -1

f(x) = x⁴ - 2x²

f(-1) = (-1)⁴ - 2 (-1)²

f(-1) = 1 - 2

f(-1) = -1 → Nilai stasioner

Jadi, titik stasionernya adalah (-1, -1)

b. x = 0

f(x) = x⁴ - 2x²

f(0) = 0⁴ - 2 (0)²

f(0) = 0 → Nilai stasioner

Jadi, titik stasionernya adalah (0, 0)

c. x = 1

f(x) = x⁴ - 2x²

f(1) = 1⁴ - 2 (1)²

f(1) = 1 - 2

f(1) = -1 → Nilai stasioner

Jadi, titik stasionernya adalah (1, -1)

Buat garis bilangan dengan cara mensubstitusi nilai x pada f'(x). Karena akar akar dari f'(x) tidak ada yang kembar (akar-akarnya: -1, 0, dan 1), maka garis bilangannya akan selalu berselang-seling positif-negatif. Bila daerah bernilai positif, maka grafik naik. Sedangkan, bila daerah bernilai negatif, maka grafik turun. Untuk lebih jelasnya lihat gambar yang terlampir

Jadi, dari garis bilangan tersebut, dapat kita simpulkan bahwa:

a. Grafik turun pada interval negatif tak hingga sampai -1 (-∞ < x < -1)

b. Grafik naik pada interval -1 hingga 0 (-1 < x < 0)

c. Grafik turun pada interval 0 hingga 1 (0 < x < 1)

d. Grafik naik pada interval 1 hingga tak hingga (1 < x < ∞)

Untuk jenis titik stasionernya:

a. (-1, -1) → Titik balik minimum

b. (0, 0) → Titik balik maksimum

c. (1, -1) → Titik balik minimum

2). f(x) = x⁴ - x²

f(x) berada di titik stasioner bila f'(x) = 0

f'(x) = 4x³ - 2x

4x³ - 2x = 0

[Faktorkan]

2x (2x² - 1) = 0

• 2x = 0 --> x = 0

• 2x² - 1 = 0 --> x = -√2/2 ; x = √2/2

Jadi, x = -√2/2; x = 0; x = √2/2. Atau dengan kata lain kurva f(x) berada di titik stasioner ketika x = -√2/2, x = 0, dan x = √2/2.

Untuk nilai stasionernya dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai x pada f(x).

a. x = -√2/2

f(x) = x⁴ - x²

f(-√2/2) = (-√2/2)⁴ - (-√2/2)²

f(-√2/2) = -1/4 → Nilai stasioner

Jadi, titik stasionernya adalah (-√2/2, -1/4)

b. x = 0

f(x) = x⁴ - x²

f(0) = 0⁴ - 0²

f(0) = 0 → Nilai stasioner

Jadi, titik stasionernya adalah (0, 0)

c. x = √2/2

f(x) = x⁴ - x²

f(√2/2) = (√2/2)⁴ - (√2/2)²

f(√2/2) = -1/4 → Nilai stasioner

Jadi, titik stasionernya adalah (√2/2, -1/4)

Buat garis bilangan dengan cara mensubstitusi nilai x pada f'(x). Karena akar akar dari f'(x) tidak ada yang kembar (akar-akarnya: -√2/2, 0, dan √2/2), maka garis bilangannya akan selalu berselang-seling positif-negatif. Bila daerah bernilai positif, maka grafik naik. Sedangkan, bila daerah bernilai negatif, maka grafik turun. Untuk lebih jelasnya lihat gambar yang terlampir

Jadi, dari garis bilangan tersebut, dapat kita simpulkan bahwa:

a. Grafik turun pada interval negatif tak hingga sampai -√2/2 (-∞ < x < -√2/2)

b. Grafik naik pada interval -√2/2 hingga 0 (-√2/2 < x < 0)

c. Grafik turun pada interval 0 hingga √2/2 (0 < x < √2/2)

d. Grafik naik pada interval √2/2 hingga tak hingga (√2/2 < x < ∞)

Untuk jenis titik stasionernya:

a. (-√2/2, -1/4) → Titik balik minimum

b. (0, 0) → Titik balik maksimum

c. (√2/2, -1/4) → Titik balik minimum

Semoga membantu, terima kasih