Jawaban:

Buktikan bahwa 5²ⁿ -1 habis dibagi 3 untuk n bilangan asli

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk membuktikan 5²ⁿ - 1 habis dibagi 3 bisa menggunakan induksi matematika yaitu ada 2 langkah

1) Buktikan untuk n = 1 benar

2) Misal untuk n = x benar, buktikan untuk n = x + 1 juga benar

Jadi

5²ⁿ - 1

1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar

= 5²⁽¹⁾ - 1

= 5² - 1

= 25 - 1

= 24

24 habis dibagi 3

(BENAR)

2) Kita asumsikan untuk n = x Benar

5²ˣ - 1 habis dibagi 3

Akan dibuktikan untuk n = x + 1 juga benar

5²⁽ˣ⁺¹⁾ - 1

= 5²ˣ⁺² - 1

= 5²ˣ . 5² - 1

= 5²ˣ . 25 - 1

= 5²ˣ . (24 + 1) - 1

= 5²ˣ . 24 + 5²ˣ . 1 - 1

= 24 . 5²ˣ + 5²ˣ - 1

= (3 . 8 . 5²ˣ) + (5²ˣ - 1)

(3 . 8 . 5²ˣ) sudah jelas habis dibagi 3

(5²ˣ - 1) habis dibagi 3 (berdasarkan asumsi n = x)

maka

(3 . 8 . 5²ˣ) + (5²ˣ - 1) juga habis dibagi 3

(BENAR)

Jadi terbukti bahwa 5²ⁿ - 1 habis dibagi 3

Catatan :

untuk x bisa kita ganti dengan k

jadi

n = k atau n = (k + 1)