Kapan kita menggunakan pembuktian limit?​

Berikut ini adalah pertanyaan dari nurfitriahlabadu pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kapan kita menggunakan pembuktian limit?


Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

Jadi kita punya fungsi $f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang didefinisikan sebagai $f(x) = 2x + 7$.

Kita bakal membuktikan bahwa

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} 2x + 7 = 13$

Yaitu, kalau kita punya sebarang $\epsilon > 0$, maka kita dapat menemukan $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_\delta(3)$ berlaku $f(x) \in V_\epsilon(13)$.

Perlu diketahui bahwa

$V_\delta(3) = \{ r \in \mathbb{R} : | r - 3 | < \delta \} = \{ r \in \mathbb{R} : 3 - \delta < r < 3 + \delta \} $

$V_\epsilon(13) = \{ s \in \mathbb{R} : | s - 13 | < \epsilon \} = \{ s \in \mathbb{R} : 13 - \epsilon < s < 13 + \epsilon \} $

Apabila $f(x) \in V_\epsilon(13)$ maka berlaku

$| f(x) - 13 | < \epsilon$

Perhatikan bentuk $| f(x) - 13 |$ !

$| f(x) - 13 | = | 2x + 7 - 13 | = | 2x - 6 | = |2| \cdot | x - 3 | = 2 \cdot | x - 3 | $

Kemudian, akan dipilih nilai $\delta > 0$ sehingga untuk setiap $x \in V_\delta(3)$ berlaku $2 \cdot | x - 3 | < \epsilon$.

Bila dipilih $\delta = \frac{\epsilon}{2}$, maka untuk setiap $x \in V_\frac{\epsilon}{2}(3)$ berlaku $ | x - 3 | < \frac{\epsilon}{2}$.

Dengan kata lain, $2 \cdot | x - 3 | < 2 \cdot \frac{\epsilon}{2}$.

Karena $2 \cdot \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$, dengan demikian berlaku $2 \cdot | x - 3 | < \epsilon$.

Jadi, terbukti benar bahwa $\lim_{x \to 3} 2x + 7 = 13$ karena untuk sebarang $\epsilon > 0$, maka kita dapat memilih $\delta = \frac{\epsilon}{2}$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_\delta(3)$ berlaku $f(x) \in V_\epsilon(13)$.

Selanjutnya kita andaikan $| x - 1 | < 1$. Kira-kira apa ya yang akan terjadi?

Semisal $| x - 1 | < 1$ maka dengan kata lain $0 < x < 2$.

Perhatikan juga bahwa,

$| x + 1 | = | x - 1 + 2 | \leq | x - 1 | + | 2 |$

Karena $| x - 1 | + | 2 | = | x - 1 | + 2$, diperoleh

$| x + 1 | \leq | x - 1 | + 2$ (pertidaksamaan A)

Dari permisalan $| x - 1 | < 1$ dan (pertidaksamaan A) diperoleh

$| x + 1 | \leq | x - 1 | + 2 < 1 + 2 = 3$

Dengan kata lain

$| x + 1 | < 3$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

semoga membantu maaf Kalo salah ya :)

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh Zeoonc01 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 03 Jan 22