Mohon bantuannya. Ini tentang integral

Berikut ini adalah pertanyaan dari faizabrar45 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\huge{\green{1.}}$

Langkah pertama : Menentukan persamaan parabola :

Dimisalkan : persamaan parabola : $y=ax^2+bx+c$

Parabola melalui titik :

» ( 0 , –1 ) $\to x=0~;~y=-1$ :

$-1=a.\left(0^2\right)+b.(0)+c$

$-1=0+0+c~\to \boxed{c=-1}$

» ( –1 , 0 ) $\to x=-1~;~y=0$ :

$0=a.\left((-1)^2\right)+b.(-1)+(-1)$

$0=a.(1)-b-1$

$a=b+1~...~(~i~)$

» ( 1 , 0 ) $\to x=1~;~y=0$ :

$0=a.\left(1^2\right)+b.(1)+(-1)$

$0=a+b-1$

Substitusikan nilai $a=b+1$ dari persamaan $(~i~)$ :

$0=(b+1)+b-1$

$2b=0~\to \boxed{b=0}$

Substitusikan nilai $b=0$ ke persamaan $(~i~)$ :

$a=b+1=0+1~\to \boxed{a=1}$

Didapatkan persamaan parabola : $\boxed{\purple{y=x^2-1}}$

Langkah kedua : Menentukan persamaan garis :

Persamaan garis yang melalui titik ( 5 , 0 ) dan titik ( 0 , 5 ) :

$\frac{y-0}{5-0}=\frac{x-5}{0-5}$

$\frac{y}{5}=\frac{x-5}{-5}$

Didapatkan persamaan garis : $\boxed{\purple{y=-x+5}}$

Langkah ketiga : Menentukan absis titik potong antara parabola dan garis :

Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan parabola :

$y=x^2-1$

$-x+5=x^2-1$

$x^2-1+x-5=0$

$x^2+x-6=0$

$(x+3)(x-2)=0$

$x=-3~~~atau~~~x=2$

Karena titik potong berada di kuadran I, maka nilai yang memenuhi adalah : $\boxed{\purple{x=2}}$

Langkah keempat : Menentukan luas daerah yang dibatasi parabola, sumbu-X, dan garis $x=2$ :

$\text{L}_1=\int \limits_1^2 \left(x^2-1\right) dx$

$=\left[\frac{1}{3}x^3-x\right]_1^2$

$=\left(\frac{1}{3}.\left(2^3\right)-2\right)-\left(\frac{1}{3}.\left(1^3\right)-1\right)$

$=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)$

$=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)$

$\huge{\text{L}_1=\frac{4}{3}}$

Langkah kelima : Menentukan luas daerah yang dibatasi garis $y=-x+5$ , garis $x=2$ , dan sumbu-X :

$\text{L}_2=\int \limits_2^5 (-x+5) dx$

$=\left[-\frac{1}{2}x^2+5x\right]_2^5$

$=\left(-\frac{1}{2}.\left(5^2\right)+5.(5)\right)-\left(-\frac{1}{2}.\left(2^2\right)+5.(2)\right)$

$=\left(-\frac{25}{2}+25\right)-\left(-2+10\right)$

$=\frac{25}{2}-8$

$\huge{\text{L}_2=\frac{9}{2}}$

Langkah keenam : Menentukan luas daerah yang diarsir :

$\text{L}_{\text{arsir}}=\text{L}_1+\text{L}_2=\frac{4}{3}+\frac{9}{2}$

$\boxed{\boxed{\red{\huge{\begin{array}{ccc}\text{L}_{\text{arsir}}=6\frac{5}{6}\\\text{satuan~luas}\end{array}}}}}$

$\\$

$\huge{\green{2.}}$

$\int \limits_0^1 \left(5x(1-x)^6\right) dx$

$=5\int \limits_0^1 \left(x(1-x)^6\right) dx$

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

$\int \left(x(1-x)^6\right) dx=\int u.dv$

$u=x~\to \frac{du}{dx}=1~\to du=dx$

$dv=(1-x)^6 dx~\to \frac{dv}{dx}=(1-x)^6~\to v=\frac{1}{7}(1-x)^7$

$\int u.dv=uv-\int v~du$

$=x.\left(\frac{1}{7}(1-x)^7\right)-\int \frac{1}{7}(1-x)^7 dx$

$=\frac{1}{7}x(1-x)^7-\left(\frac{1}{7}\times \frac{1}{8}(1-x)^8\right)$

$=\frac{1}{7}x(1-x)^7-\frac{1}{56}(1-x)^8$

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

$=5.\left[\frac{1}{7}x(1-x)^7-\frac{1}{56}(1-x)^8\right]_0^1$

$=5.\left(\left(\frac{1}{7}.(1).(1-1)^7-\frac{1}{56}(1-1)^8\right)-0\right)$

$=5.(0-0)$

$\boxed{\boxed{\red{\huge{\begin{array}{ccc}\int \limits_0^1 \left(5x(1-x)^6\right) dx\\=0\end{array}}}}}$

$\\$

$\huge{\green{3.}}$

Menentukan absis titik potong antara kurva $y^2=x$ dan kurva $x^2=y$ :

$\left(x^2\right)^2=x$

$x^4-x=0$

$x.\left(x^3-1\right)=0$

$x=0~~~dan~~~x^3=1$

$x=0~~~dan~~~x=1$

Pada interval $0 \leq x \leq 1$ , kurva $y^2=x$ berada di atas kurva $x^2=y$ , maka :

$\text{V}=\pi \int \limits_0^1 \left(x-x^4\right) dx$

$=\pi.\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{5}x^5\right]_0^1$

$=\pi.\left(\left(\frac{1}{2}.\left(1^2\right)-\frac{1}{5}.\left(1^5\right)\right)-0\right)$

$=\pi.\left(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)\right)$

$\boxed{\boxed{\red{\huge{\begin{array}{ccc}\text{V}=\frac{3}{10}\pi\\\text{satuan~volume}\end{array}}}}}$

$\\$

$\huge{\green{4.}}$

$\text{V}=\pi \int \limits_0^4 \left(\sqrt(x)\right)^2 dx$

$=\pi \int \limits_0^4 x~dx$

$=\pi.\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^4$

$=\pi.\left(\frac{1}{2}.\left(4^2\right)-0\right)$

$\boxed{\boxed{\red{\huge{\begin{array}{ccc}\text{V}=8\pi\\\text{satuan~volume}\end{array}}}}}$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh WillyJember dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 29 Jul 21

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Mohon bantuannya. Ini tentang integral

Jawaban dan Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika