Teorema de moivre jika z³ = -1 + i maka

Berikut ini adalah pertanyaan dari noviantinovianti473 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Teorema de moivre jika z³ = -1 + i maka z = .....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Analisis Kompleks

Dalil De Moivre

$\boxed{z^{n}=r^{n}\cos(n\theta)+i\sin(n\theta),\, n= bilangan\ bulat}$

berdasar De Moivre

$z^{3}=r^{3}(\cos (3\theta )+isin(3\theta))\\-1+i=r^{3}\cos (3\theta )+r^{3}i\sin(3\theta)\\$

Didapat

$-1=r^{3}\cos(3\theta)\\1=r^{6}\cos^{2}(3\theta)$

dan

$i=r^{3}i\sin(3\theta)\\1=r^{6}\sin^{2}(3\theta)$

Tambahkan kedua hasil tersebut

$1+1=r^{6}\cos^{2}(3\theta)+r^{6}\sin^{2}(3\theta)\\2=r^{6}(\cos^{2}(3\theta)+\sin^{2}(3\theta))\\2=r^{6}\\r=2^{\frac{1}{6}}$

cari nilai dari masing-masing θ

$-1=r^{3}\cos(3\theta)\\-1=2^{\frac{1}{2}}\cos(3\theta)\\-\frac{1}{\sqrt {2}}=\cos 3\theta\\\cos 3\theta=\cos \frac{3}{4}\pi\\3\theta=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ atau\ 3\theta=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi\\\theta=\frac{1}{4}\pi+\frac{2k\pi}{3}\ atau\ \theta=-\frac{1}{4}\pi+\frac{2k\pi}{3}$

dan

$i=r^{3}i\sin(3\theta)\\1=2^{\frac{1}{2}}\sin(3\theta)\\\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin 3\theta\\\sin 3\theta=\sin \frac{3}{4}\pi\\3\theta=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ atau\ 3\theta=(\pi-\frac{3}{4}\pi)+2k\pi\\3\theta=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ atau\ 3\theta=\frac{1}{4}\pi+2k\pi\\\theta=\frac{1}{4}\pi+\frac{2k\pi}{3}\ atau\ \theta=\frac{1}{12}\pi+\frac{2k\pi}{3}$