mohon bantuannya kak

Berikut ini adalah pertanyaan dari fitfitri650 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mohon bantuannya kak

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2\frac{dy}{dt}-3y=0, y(0)=1, y'(0)=0$

5. PD dengan persaman karak teristik

Misal $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=r^{2}$ , $\frac{dy}{dt}=r$ , dan $y=1$ , sehingga

$r^{2}-2r-3=0\\(r-3)(r+1)=0$

Didapatlah r=3 atau r=-1 (real berbeda)

Maka diperoleh persaman umum

$y=Ae^{-t}+Be^{3t}$

Cari persamaan khusus :

Syarat 1 :

Untuk y(0)=1 berarti t=0 y=1, sehingga

$1=Ae^{0}+Be^{0}\\\\1=A+B$

Syarat 2 :

$y=Ae^{-t}+Be^{3t}$ (Turunkan)

$y'=-Ae^{-t}+3Be^{3t}$

Untuk y'(0)=0 berarti t=0 dan y'=0, sehingga

$0=-Ae^{0}+3Be^{0}\\0=-A+3B\\A=3B$

Substitusikan

$1=3B+B\\B=\frac{1}{4}\ ;\ A=\frac{3}{4}$

Maka solusi khususnya

$y=\frac{3}{4}e^{-t}+\frac{1}{4}e^{3t}$

6. PD dengan Transformasi Laplace

Transformasi Laplace untuk PD Orde II

$ay''+by'+c=r(t)\\aL\{y''\}+bL\{y'\}+cL\{y\}=L\{r(t)\}\\(as^{2}+bs+c)Y(s)=R(s)+(as+b)y(0)+ay'(0)\\Y(s)=\frac{R(s)}{as^{2}+bs+c}+\frac{(as+b)y(0)+ay'(0)}{as^{2}+bs+c}\\Y(s)=\frac{R(s)}{Q(s)}+\frac{G(s)}{Q(s)}\\y(t)=L^{-1}\{\frac{R(s)}{Q(s)}\}+L^{-1}\{\frac{G(s)}{Q(s)}\}$