1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan panjang busur dari parabola y² = x, dari titik

Berikut ini adalah pertanyaan dari yantinitahilda pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan panjang busur dari parabola y² = x, dari titik (0,0) dan (1,1)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Panjang busur parabola y^2=x dari titik (0,0) sampai (1,1) adalah \boldsymbol{\frac{2\sqrt{5}+ln|\sqrt{5}+2|}{4}~satuan~panjang}.

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}

Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung panjang busur kurva dari titik a ke titik b, dimana panjang busur S dapat dicari dengan rumus :

\displaystyle{S=\int\limits^{x_2}_{x_1} {\sqrt{1+[f'(x)]^2}} \, dx },~atau

\displaystyle{S=\int\limits^{y_2}_{y_1} {\sqrt{1+[f'(y)]^2}} \, dy }

Dengan f'(x) dan f'(y) adalah turunan pertama fungsi.

.

DIKETAHUI

Parabola y^2=x.

.

DITANYA

Tentukan panjang busur parabola dari titik (0,0) sampai (1,1).

.

PENYELESAIAN

Kita hitung menggunakan batas arah y.

f(y)=y^2

f'(y)=2y

.

Maka panjang busur :

\displaystyle{S=\int\limits^{y_2}_{y_1} {\sqrt{1+[f'(y)]^2}} \, dy }

\displaystyle{S=\int\limits^{1}_{0} {\sqrt{1+(2y)^2}} \, dy }

\displaystyle{S=\int\limits^{1}_{0} {\sqrt{1+4y^2}} \, dy }

------------------------------------

Misal :

\frac{\tan\theta}{2}=y

\frac{\sec^2\theta}{2}d\theta=dy

tan\theta=2y~\to~sec\theta=\sqrt{1+4y^2}

------------------------------------

\displaystyle{S=\int\limits^{1}_{0} {\sqrt{1+4(\frac{tan\theta}{2})^2}} \, (\frac{sec^2\theta}{2})d\theta }

\displaystyle{S=\frac{1}{2}\int\limits^{1}_{0} {sec^2\theta\sqrt{1+tan^2\theta}} \, d\theta }

\displaystyle{S=\frac{1}{2}\int\limits^{1}_{0} {sec^2\theta\sqrt{sec^2\theta}} \, d\theta }

\displaystyle{S=\frac{1}{2}\int\limits^{1}_{0} {sec^3\theta} \, d\theta }

------------------------------------

Misal :

u=sec\theta~\to~du=sec\theta.tan\theta d\theta

dv=sec^2\theta d\theta~\to~v=tan\theta

\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta =\int\limits{sec\theta.sec^2\theta} \, d\theta}

\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta =uv-\int\limits{v} \, du}

\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta =sec\theta.tan\theta-\int\limits{tan\theta} \, sec\theta.tan\theta d\theta}

\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta =sec\theta.tan\theta-\int\limits{(sec^2\theta-1)sec\theta} \, d\theta}

\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta =sec\theta.tan\theta-\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta+\int\limits {sec\theta} \, d\theta }

2\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta =sec\theta.tan\theta+\int\limits {sec\theta} \, d\theta }

2\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta =sec\theta.tan\theta+ln|tan\theta+sec\theta|}

\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta =\frac{1}{2}sec\theta.tan\theta+\frac{1}{2}ln|tan\theta+sec\theta|}

------------------------------------

\displaystyle{S=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{2}sec\theta.tan\theta+\frac{1}{2}ln|sec\theta+tan\theta| \right ]\Bigr|^1_0}

\displaystyle{S=\frac{1}{4}sec\theta.tan\theta+\frac{1}{4}ln|sec\theta+tan\theta|\Bigr|^1_0}

\displaystyle{S=\frac{1}{4}\sqrt{1+4y^2}(2y)+\frac{1}{4}ln\left | \sqrt{1+4y^2}+2y \right |\Bigr|^1_0}

\displaystyle{S=\frac{1}{2}\sqrt{1+4(1)^2}(1)+\frac{1}{4}ln\left | \sqrt{1+4(1)^2}+2(1) \right |-\left [ \frac{1}{2}\sqrt{1+4(0)^2}(0)+\frac{1}{4}ln\left | \sqrt{1+4(0)^2}+2(0) \right | \right ]}

\displaystyle{S=\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}ln\left | \sqrt{5}+2 \right |-0}

\displaystyle{S=\frac{2\sqrt{5}+ln\left | \sqrt{5}+2 \right |}{4}}~satuan~panjang

.

KESIMPULAN

Panjang busur parabola y^2=x dari titik (0,0) sampai (1,1) adalah \boldsymbol{\frac{2\sqrt{5}+ln|\sqrt{5}+2|}{4}~satuan~panjang}.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Mencari panjang ruas kurva : yomemimo.com/tugas/37266712
  2. Mencari panjang busur lingkaran : yomemimo.com/tugas/29520650
  3. Integral metode parsial : yomemimo.com/tugas/34725665

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral Tak Tentu

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, panjang, busur, garis, kurva.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 22 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>