1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

y’’ + 3y’ + 2y = 3e2t dengan syarat awal

Berikut ini adalah pertanyaan dari mahfudtod17 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Y’’ + 3y’ + 2y = 3e2t dengan syarat awal y(0) = 4 dan y’(0) = 6

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Solusi dari  y''+3y'+2y=3e^{2t}, y(0)=4, y'(0)=6adalah\boldsymbol{y=-\frac{37}{4}e^{-2t}+13e^{-t}+\frac{1}{4}e^{2t}}.

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial (PD) orde 2 non homogen mempunyai bentuk :

\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}+y=r(x)

Dengan r(x) ≠ 0. Jika r = 0 maka disebut PD orde 2 homogen.

PD ini memiliki 2 solusi, yaitu :

1. Solusi PD homogen y_h

2. Solusi PD non homogen y_p.

Sehingga solusi total dari PD orde 2 non homogen adalah y=y_h+y_p.

Untuk solusi PD homogen ada 3 kemungkinan :

1. Jika akar akarnya real dan berbeda maka y_h=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.

2. Jika akarnya real dan kembar maka y_h=C_1e^{rx}+C_2xe^{r_x}.

3. Jika akarnya imajiner maka y_h=e^{ax}(C_1sinbx+C_2cosbx)

Untuk solusi PD non homogen disesuaikan dengan bentuk fungsi r(x) nya. Jika r(x)=e^{ax}makay_p=Ae^{ax}

.

DIKETAHUI

y''+3y'+2y=3e^{2t}

y(0)=4

y'(0)=6

.

DITANYA

Tentukan solusinya.

.

PENYELESAIAN

SOLUSI UMUM

> Mencari Solusi PD homogen.

y''+3y'+2y=3e^{2t}

Persamaan karakteristiknya adalah :

r^2+3r+2=0

(r+2)(r+1)=0

r=-2~atau~r=-1

.

Karena akar akarnya adalah real dan berbeda, maka solusi homogennya adalah .

yh=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}

y_h=C_1e^{-2t}+C_2e^{-t}

.

> Mencari Solusi PD non homogen.

Karena r(t)=3e^{2t} maka kita pilih :

y_p=Ae^{2t}

y_p'=2Ae^{2t}

y_p''=4Ae^{2t}

.

Kita substitusikan kembali ke soal.

y''+3y'+2y=3e^{2t}

4Ae^{2t}+3(2Ae^{2t})+2(Ae^{2t})=3e^{2t}

12Ae^{2t}=3e^{2t}

A=\frac{1}{4}

.

Sehingga solusi umum totalnya adalah :

y=y_h+y_p

\boldsymbol{y=C_1e^{-2t}+C_2e^{-t}+\frac{1}{4}e^{2t}}

.

.

SOLUSI KHUSUS

Kita cari solusi khususnya dengan mencari nilai dari C₁ dan C₂ dengan memasukkan kondisi y(0) = 4 dan y'(0) = 6.

y=C_1e^{-2t}+C_2e^{-t}+\frac{1}{4}e^{2t}

y'=-2C_1e^{-2t}-C_2e^{-t}+\frac{1}{2}e^{2t}

.

y(0)=4

C_1e^{-2(0)}+C_2e^{-0}+\frac{1}{4}e^{2(0)}=4

C_1+C_2+\frac{1}{4}=4

C_2=\frac{15}{4}-C_1~~~~~~...(i)

.

y'(0)=6

-2C_1e^{-2(0)}-C_2e^{-(0)}+\frac{1}{2}e^{2(0)}=6

-2C_1e-C_2+\frac{1}{2}=6~~~~~~...substitusi~pers.(i)

-2C_1-(\frac{15}{4}-C_1)+\frac{1}{2}=6

-C_1-\frac{13}{4}=6

C_1=-\frac{13}{4}-6

C_1=-\frac{37}{4}~\to~C_2=13

.

Sehingga solusi khususnya adalah :

y=C_1e^{-2t}+C_2e^{-t}+\frac{1}{4}e^{2t}

y=-\frac{37}{4}e^{-2t}+13e^{-t}+\frac{1}{4}e^{2t}

.

KESIMPULAN

Solusi dari  y''+3y'+2y=3e^{2t}, y(0)=4, y'(0)=6adalah\boldsymbol{y=-\frac{37}{4}e^{-2t}+13e^{-t}+\frac{1}{4}e^{2t}}.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/37242653
  2. PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/37241380
  3. PD eksak : yomemimo.com/tugas/29348546

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : persamaan, diferensial, solusi, umum, khusus.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 29 Jul 21
<< Previous Post
Next Post >>