1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui persegi panjang ABCD. X pada AB sehingga AX:XB =

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui persegi panjang ABCD. X pada AB sehingga AX:XB = 1:5. Y pada BC sehingga BY:BC = 1:4. O adalah perpotongan kedua diagonal persegi panjang. Jika \overrightarrow{OX} = a dan \overrightarrow{OY} = b, maka nyatakan vektor \overrightarrow{AB} dalam a dan b!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\large\text{$\begin{aligned}\overrightarrow{\bf AB}=-\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\end{aligned}$}

 

Pembahasan

Vektor: Kombinasi Linear

Dari soal yang diberikan, dapat kita ketahui bahwa relatif terhadap titik O, kita memiliki vektor posisi \overrightarrow{OA}dan\overrightarrow{OB}, sehingga vektor \overrightarrow{AB}, dapat dinyatakan dengan:

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\quad...(i)

Pada ruas garis AB, terdapat titik Xsedemikian rupa sehinggaAX:XB = 1:5, dan vektor \overrightarrow{OX}=\bf a. Maka:

\begin{aligned}\overrightarrow{OX}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}\\\bf a&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{1+5}\overrightarrow{AB}\\&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}\\&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\\6\bf a&=6\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\\therefore\ 6\bf a&=\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OA}\quad...(ii)\end{aligned}

Pada ruas garis BC, terdapat titik Ysedemikian rupa sehinggaBY:BC = 1:4, dan vektor \overrightarrow{OY}=\bf b. Maka:

\begin{aligned}\overrightarrow{OY}&=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BY}\\\bf b&=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)\\4\bf b&=4\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\\&=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\end{aligned}

Karena ACadalah diagonal persegi panjangABCD, maka vektor \overrightarrow{OC}berlawanan arah dengan\overrightarrow{OA}, dengan besar vektor yang sama, sehingga \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}.

Oleh karena itu:

\begin{aligned}\therefore\ 4\bf b&=3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\quad...(iii)\end{aligned}

Kita eliminasi vektor \overrightarrow{OB}.

\begin{aligned}(ii):\ &\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OA}=6\bf a\\\Downarrow\times3\\(ii):\ &3\overrightarrow{OB}+15\overrightarrow{OA}=18\bf a\\(iii):\ &3\overrightarrow{OB}-\quad\overrightarrow{OA}=\:\,4\bf b\\&\text{-----------------------------}\ -\\&16\overrightarrow{OA}=18{\bf a}-4{\bf b}\\\Rightarrow\ &\overrightarrow{OA}=\frac{9}{8}{\bf a}-\frac{1}{4}{\bf b}\end{aligned}

Lalu, dari persamaan (iii) dapat kita peroleh:

\begin{aligned}&3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=4{\bf b}\\&{\Rightarrow\ }3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OA}=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }3\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OA}=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }3\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}\left(4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\right)\\\end{aligned}
\begin{aligned}{\Rightarrow\ }\overrightarrow{\bf AB}&=\frac{1}{3}\left(4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\right)\\&=\frac{2}{3}\left(2{\bf b}-\overrightarrow{OA}\right)\\&=\frac{2}{3}\left(2{\bf b}-\left(\frac{9}{8}{\bf a}-\frac{1}{4}{\bf b}\right)\right)\\&=\frac{2}{3}\left(-\frac{9}{8}{\bf a}+\frac{9}{4}{\bf b}\right)\\{\therefore\ \:}\overrightarrow{\bf AB}&=\boxed{\ -\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\ }\\\end{aligned}

 

Pemeriksaan

Pada gambar yang diberikan, AB = 9 satuan, dan BC = 4 satuan, sehingga:

\begin{aligned}&\overrightarrow{OX}={\bf a}=\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix},\ \overrightarrow{OY}={\bf b}=\begin{pmatrix}4{,}5\\-1\end{pmatrix}\\&\overrightarrow{\bf AB}=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{\bf AB}&=-\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\\&=-\frac{3}{4}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}+\frac{3}{2}\begin{pmatrix}4{,}5\\-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\dfrac{9}{4}+\dfrac{13{,}5}{2}\\\\\dfrac{6}{4}-\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2{,}25+6{,}75\\\\\dfrac{6}{4}-\dfrac{6}{4}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\\\end{aligned}

(benar)

\blacksquare

 

[tex]\large\text{$\begin{aligned}\overrightarrow{\bf AB}=-\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\end{aligned}$}[/tex] PembahasanVektor: Kombinasi LinearDari soal yang diberikan, dapat kita ketahui bahwa relatif terhadap titik [tex]O[/tex], kita memiliki vektor posisi [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] dan [tex]\overrightarrow{OB}[/tex], sehingga vektor [tex]\overrightarrow{AB}[/tex], dapat dinyatakan dengan:[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\quad...(i)[/tex]Pada ruas garis [tex]AB[/tex], terdapat titik [tex]X[/tex] sedemikian rupa sehingga [tex]AX:XB = 1:5[/tex], dan vektor [tex]\overrightarrow{OX}=\bf a[/tex]. Maka:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{OX}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}\\\bf a&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{1+5}\overrightarrow{AB}\\&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}\\&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\\6\bf a&=6\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\\therefore\ 6\bf a&=\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OA}\quad...(ii)\end{aligned}[/tex]Pada ruas garis [tex]BC[/tex], terdapat titik [tex]Y[/tex] sedemikian rupa sehingga [tex]BY:BC = 1:4[/tex], dan vektor [tex]\overrightarrow{OY}=\bf b[/tex]. Maka:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{OY}&=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BY}\\\bf b&=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)\\4\bf b&=4\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\\&=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\end{aligned}[/tex]Karena [tex]AC[/tex] adalah diagonal persegi panjang [tex]ABCD[/tex], maka vektor [tex]\overrightarrow{OC}[/tex] berlawanan arah dengan [tex]\overrightarrow{OA}[/tex], dengan besar vektor yang sama, sehingga [tex]\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}[/tex].Oleh karena itu:[tex]\begin{aligned}\therefore\ 4\bf b&=3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\quad...(iii)\end{aligned}[/tex]Kita eliminasi vektor [tex]\overrightarrow{OB}[/tex].[tex]\begin{aligned}(ii):\ &\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OA}=6\bf a\\\Downarrow\times3\\(ii):\ &3\overrightarrow{OB}+15\overrightarrow{OA}=18\bf a\\(iii):\ &3\overrightarrow{OB}-\quad\overrightarrow{OA}=\:\,4\bf b\\&\text{-----------------------------}\ -\\&16\overrightarrow{OA}=18{\bf a}-4{\bf b}\\\Rightarrow\ &\overrightarrow{OA}=\frac{9}{8}{\bf a}-\frac{1}{4}{\bf b}\end{aligned}[/tex]Lalu, dari persamaan [tex](iii)[/tex] dapat kita peroleh:[tex]\begin{aligned}&3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=4{\bf b}\\&{\Rightarrow\ }3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OA}=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }3\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OA}=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }3\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}\left(4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\right)\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}{\Rightarrow\ }\overrightarrow{\bf AB}&=\frac{1}{3}\left(4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\right)\\&=\frac{2}{3}\left(2{\bf b}-\overrightarrow{OA}\right)\\&=\frac{2}{3}\left(2{\bf b}-\left(\frac{9}{8}{\bf a}-\frac{1}{4}{\bf b}\right)\right)\\&=\frac{2}{3}\left(-\frac{9}{8}{\bf a}+\frac{9}{4}{\bf b}\right)\\{\therefore\ \:}\overrightarrow{\bf AB}&=\boxed{\ -\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\ }\\\end{aligned}[/tex] PemeriksaanPada gambar yang diberikan, [tex]AB[/tex] = 9 satuan, dan [tex]BC[/tex] = 4 satuan, sehingga:[tex]\begin{aligned}&\overrightarrow{OX}={\bf a}=\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix},\ \overrightarrow{OY}={\bf b}=\begin{pmatrix}4{,}5\\-1\end{pmatrix}\\&\overrightarrow{\bf AB}=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\overrightarrow{\bf AB}&=-\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\\&=-\frac{3}{4}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}+\frac{3}{2}\begin{pmatrix}4{,}5\\-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\dfrac{9}{4}+\dfrac{13{,}5}{2}\\\\\dfrac{6}{4}-\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2{,}25+6{,}75\\\\\dfrac{6}{4}-\dfrac{6}{4}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\\\end{aligned}[/tex](benar)[tex]\blacksquare[/tex] 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 25 Jul 22
<< Previous Post
Next Post >>