1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui f(x) = cos3x, tentukan deret mclaurin orde 5 untuk

Berikut ini adalah pertanyaan dari rhaka8221 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui f(x) = cos3x, tentukan deret mclaurin orde 5 untuk f(x), kemudian gunakan deret tersebut untuk menghampiri nilai f(0.23) dan tentukan galat mutlak dan galat relatif hampiran. (misalkan nilai eksak f(0.23) = 0.77124601).

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Deret Maclaurin:

f(x)=1-\frac{9}{2}x^2+\frac{81}{4!}x^4

Nilai f(0.23):

f(0.23)=0.7713946338

Nilai galat mutlak:

|\epsilon|=0.00014862

Nilai galat relatif:

\epsilon_R=0.000193=0.0193 \%

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita ingin menentukan deret Maclaurin untuk f(x)=\cos 3x, dan menentukan galat mutlak serta galat relatif.

Sebelum itu, kita akan tentukan dulu deret Maclaurin untuk cos 3x.

DISCLAIMER: Walaupun soal meminta kita untuk mencari deret Maclaurin hingga orde ke-5, tetapi karena cos 3x sendiri TIDAK mempunyai suku orde ke-5, maka saya akan ambil deret cos 3x hingga suku orde ke-4

CARA PERTAMA

Deret Maclaurin didefinisikan sebagai:

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+...

Maka, kita akan tentukan turunan dari cos 3x hingga orde ke-5.

f(x)=\cos 3x

f'(x)=-3\sin 3x

f''(x)=-9 \cos 3x

f'''(x)=27 \sin 3x

f^{(4)}(x)=81 \cos 3x

f^{(5)}(x)=-243 \sin 3x

Substitusikan x=0:

f(0)=1

f'(0)=0

f''(0)=-9

f'''(0)=0

f^{(4)}(0)=81

f^{(5)}(0)=0

Dengan nilai yang didapat diatas, maka kita bisa tentukan f(x) dan f(0.23):

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+...

f(x)=1+0+\frac{-9}{2}x^2+0+\frac{81}{4!}x^4+0

f(x)=1-\frac{9}{2}x^2+\frac{81}{4!}x^4

f(0.23)=1-\frac{9}{2}(0.23)^2+\frac{81}{4!}(0.23)^4

f(0.23)=0.7713946338

CARA KEDUA

Ada baiknya kita menghapal deret untuk \cos x, \sin x, dan \mathrm{e}^x

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...

\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...

Untuk sekarang, kita akan gunakan deret maclaurin dari cos x.

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}

\cos 3x=1-\frac{(3x)^2}{2!}+\frac{(3x)^4}{4!}

\cos 3x=1-\frac{9x^2}{2!}+\frac{81x^4}{4!}

Maka,

f(x)=1-\frac{9x^2}{2!}+\frac{81x^4}{4!}

f(0.23)=1-\frac{9(0.23)^2}{2!}+\frac{81(0.23)^4}{4!}

f(0.23)=0.7713946338

Sekarang, kita akan menghitung galat mutlak.

Galat mutlak bisa dihitung dengan:

|\epsilon|=|a-\hat{a}|

Galat relatif bisa dihitung dengan:

\epsilon_R=\frac{|\epsilon|}{a}

Kita ketahui:

a=0.77124601 \:(\mathrm{dari\: soal})\\\hat{a}=0.77139463 \: (\mathrm{dari\:hitungan\:kita\:sebelumnya})

|\epsilon|=|0.77124601-0.77139463|

|\epsilon|=0.00014862

Ini adalah nilai dari galat mutlak.

Untuk galat relatif:

\epsilon_R=\frac{|\epsilon|}{a}

\epsilon_R=\frac{0.00014862}{0.77124601}

\epsilon_R=0.000193=0.0193 \%

Ini adalah nilai dari galat relatif.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh Tomaten dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 10 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>