Jawab:

a.  x₁x₂x₃ = –3

b.  1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = 1/3

c.  x₁² + x₂² + x₃² = 5

Penjelasan dengan langkah-langkah:

x³ – 3x² – x + a = 0memiliki2 akar yang saling berlawanan.

Maka, dapat diasumsikan bahwa:

x₁ = –x₂  atau  x₂ = –x₁

x³ – 3x² – x + a = 0

Koefisien dan konstanta ⇒ A = 1, B = –3, C = –1, D = a

Jika x₁, x₂, dan x₃ adalah akar-akarnya, maka:

→  x₁ + x₂ + x₃ = –B/A

   ⇔ x₁ – x₁ + x₃ = –(–3)

   ⇔ x3 = 3

→ x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = C/A

   ⇔ x₁(–x₁) + (–x₁)x₃ + x₁x₃ = –1

   ⇔ –(x₁²) – x₁x₃ + x₁x₃ = –1

   ⇔ –(x₁²) = –1

   ⇔ x₁² = 1

   ⇔ x₁ = ± 1

   ⇔ x₁ = 1  atau  x₁ = –1

Jika x₁ = 1, maka x₂ = –1. Sebaliknya, jika x₁ = –1, maka x₂ = 1.

Tanpa menghitung nilai a, kita selesaikan ketiga soal tersebut.

Soal a.

Hasil kali ketiga akar tersebut dapat dihitung dengan:

x₁x₂x₃ = 1(–1)(3)

⇔ x₁x₂x₃ = –3

Soal b.

Jumlah kebalikan setiap akarnya dapat dihitung dengan:

1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = 1/1 + 1/(–1) + 1/3

⇔ 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = 1 – 1 + 1/3

⇔ 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = 1/3

Dapat pula dihitung dengan:

1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = (x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃) / x₁x₂x₃

⇔ 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = (–1) / (–3)

⇔ 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = 1/3

Soal c.

Jumlah kuadrat akar-akarnya dapat dihitung dengan:

x₁² + x₂² + x₃² = 1² + (–1)² + 3

⇔ x₁² + x₂² + x₃² = 1 + 1 + 3

⇔ x₁² + x₂² + x₃² = 5