1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

lingkaran-lingkaran x2+y2-16x -20y +115=0 dan x2+y2 +8x -10y + 5

Berikut ini adalah pertanyaan dari salwarania14 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

lingkaran-lingkaran x2+y2-16x -20y +115=0 dan x2+y2 +8x -10y + 5 =0 saling bersinggungan. tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik singgung tersebut dan memiliki jari-jari 1/2​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Lingkaran yangberpusatdi titik singgung kedua lingkaranlain danberjari-jari \frac{1}{2}memilikipersamaan:  (x-\frac{20}{13})^2+(y-\frac{95}{13})^2=\frac{1}{4}ataux^2+y^2-\frac{40}{13}x-\frac{190}{13}y+\frac{37531}{676}=0atau676x^2+676y^2-2080x-9880y+37531=0.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pertama, cari titik singgung kedua lingkaran. Lakukan eliminasi terhadap persamaan kedua lingkaran.

x²+y²-16x-20y+115 = 0

x²+y²+8x-10y  +5   = 0 -

       -24x-10y+110  = 0

               -24x-10y = -110

                12x+5y   = 55

Persamaan di atas dapat dituliskan kembali menjadi:

5y=-12x+55\\y=-\frac{12}{5}x+11...(1)

Substitusi persamaan (1) di atas ke salah satu persamaan lingkaran, misalkan ke persamaan: x²+y²+8x-10y+5 = 0.

x^2+(-\frac{12}{5}x+11)^2+8x-10(-\frac{12}{5}x+11)+5=0\\x^2+\frac{144}{25}x^2-\frac{264}{5}x+121+8x+24x-110+5=0\\\frac{169}{25}x^2-\frac{104}{5}x+16=0\\169x^2-520x+400=0

Gunakan rumus abc untuk memperoleh akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

x_{1,2}=\frac{-(-520)\pm \sqrt{(-520)^2-4\times 169\times 400}}{2\times 169}\\=\frac{520\pm \sqrt{270400-270400}}{338}\\=\frac{520\pm \sqrt{0}}{338}\\=\frac{520}{338}=\frac{20}{13}

Karena bersinggungan, nilai akarnya kembar. Jadi, diperoleh x = \frac{20}{13}. Substitusi nilai x ini ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai y dari titik singgungnya.

y=-\frac{12}{5}\times \frac{20}{13} +11=-\frac{48}{13}+\frac{143}{13}=\frac{95}{13}

Jadi, koordinat titik singgungnyaadalah(\frac{20}{13} ,\frac{95}{13} ). Titik ini yang menjadi titik pusat lingkaranbaru danlingkarantersebut memilikijari-jari \frac{1}{2}. Persamaannya menjadi:

(x-\frac{20}{13})^2+(y-\frac{95}{13})^2=(\frac{1}{2})^2\\(x-\frac{20}{13})^2+(y-\frac{95}{13})^2=\frac{1}{4}\\x^2-\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}+y^2-\frac{190}{13}y+\frac{9025}{169}=\frac{1}{4}\\x^2+y^2-\frac{40}{13}x-\frac{190}{13}y+\frac{400}{169}+\frac{9025}{169}-\frac{1}{4}=0\\x^2+y^2-\frac{40}{13}x-\frac{190}{13}y+\frac{9425}{169}-\frac{1}{4}=0\\x^2+y^2-\frac{40}{13}x-\frac{190}{13}y+\frac{37700}{676}-\frac{169}{676}=0\\x^2+y^2-\frac{40}{13}x-\frac{190}{13}y+\frac{37531}{676}=0\\

676x^2+676y^2-2080x-9880y+37531=0

Jadi, persamaan lingkaranyangberpusat di titik singgungtersebut dan memilikijari-jari \frac{1}{2}adalah(x-\frac{20}{13})^2+(y-\frac{95}{13})^2=\frac{1}{4}ataux^2+y^2-\frac{40}{13}x-\frac{190}{13}y+\frac{37531}{676}=0atau676x^2+676y^2-2080x-9880y+37531=0.

Pelajari lebih lanjut:

  1. Materi tentang Menghitung Panjang Ruas Garis yang Titik-Titik Ujungnya Merupakan Titik Singgung Dua Lingkarandan Titik Potong Dua Garis SinggungDua Lingkaran yomemimo.com/tugas/23124592
  2. Materi tentang Menentukan Persamaan Lingkaranyang Titik-Titik Ujung Salah Satu Diameternya MerupakanTitik-Titik Pusat Dua LingkaranKecil yangBersinggungan dengan LingkaranBesaryomemimo.com/tugas/20786143
  3. Materi tentang Menghitung Luas Persegi Panjang yang Sebagian Daerahnya Berada pada Dua Lingkaran yang Bersinggungan yomemimo.com/tugas/14756967

#BelajarBersamaBrainly

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh anginanginkel dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 22 Jun 22
<< Previous Post
Next Post >>