Q.1. Volume benda putar yang terbentuk karena daerah dibatasi y

Berikut ini adalah pertanyaan dari jubaidahrt2 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Q.1. Volume benda putar yang terbentuk karena daerah dibatasi y = 9 – x2 dan y = x + 7 diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Volume benda putar yang terbentuk adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{333}{5}\pi~satuan~volume} }$ .

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

$\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}$

Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung volume benda putar. Untuk menghitung volume benda putar yang dibatasi oleh 2 kurva jika diputar terhadap sumbu x ada 2 metode, yaitu :

Metode cakram, kita hitung terhadap variabel x dengan rumus : $\displaystyle{V=\pi\int\limits^{x_2}_{x_1} {[f^2(x)-g^2(x)]} \, dx }$ .
Metode kulit tabung, kita hitung terhadap variabel y dengan rumus : $\displaystyle{V=2\pi\int\limits^{y_2}_{y_1} {y[f(y)-g(y)]} \, dy }$ .

DIKETAHUI

Daerah dibatasi oleh y = 9 - x² dan y = x + 7 diputar 360⁰ mengelilingi sumbu x.

DITANYA

Tentukan volume benda putarnya.

PENYELESAIAN

Cari titik potong kedua kurva.

$y=y$

$9-x^2=x+7$

$x^2+x-2=0$

$(x+2)(x-1)=0$

$x=-2~atau~x=1$

Maka volume benda putarnya :

$\displaystyle{V=\pi\int\limits^{x_2}_{x_1} {[(y_1)^2-(y_2)^2]} \, dx }$

$\displaystyle{V=\pi\int\limits^1_{-2} {[(9-x^2)^2-(x+7)^2]} \, dx }$

$\displaystyle{V=\pi\int\limits^1_{-2} {(81-18x^2+x^4-x^2-14x-49)} \, dx }$

$\displaystyle{V=\pi\int\limits^1_{-2} {(x^4-19x^2-14x+32)} \, dx }$

$\displaystyle{V=\pi\left ( \frac{1}{5}x^5-\frac{19}{3}x^3-7x^2+32x \right )\Bigr|^1_{-2} }$

$\displaystyle{V=\pi\left [ \frac{1}{5}(1)^5-\frac{19}{3}(1)^3-7(1)^2+32(1)-\left ( \frac{1}{5}(-2)^5-\frac{19}{3}(-2)^3-7(-2)^2+32(-2) \right ) \right ] }$ $\displaystyle{V=\pi\left ( \frac{283}{15}+\frac{716}{15} \right ) }$