Nilai [tex]\mathbf{lim_{x\to∞}\frac{x\cdot\tan2x}{\cos^{2}x-1}}[/tex] adalah . . . A. 1 B. 0 C. [tex]\mathbf{\frac{1}{2}}[/tex] D. -1 E.

Berikut ini adalah pertanyaan dari Sinogen pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Nilai $\mathbf{lim_{x\to∞}\frac{x\cdot\tan2x}{\cos^{2}x-1}}$ adalah . . .A. 1

B. 0

C. $\mathbf{\frac{1}{2}}$

D. -1

E. -2

Note = Pake Penjelasan / Jalannya

#sinogen
#limit
#fun
#soal
#matematika

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Step by step explanation

$\rm\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x \cdot \tan 2x}{\cos^2 x - 1}$

Misal :

p = 1/x maka x = 1/p

Dengan demikian bentuk limit dapat kita ubah sebagai berikut :

$\begin{aligned}\rm\lim\limits_{p\to 0}\frac{\frac{1}{p} \cdot \tan 2\left(\frac{1}{p}\right)}{\cos^2\left(\frac{1}{p}\right)- 1}&=\rm\lim\limits_{p\to 0}\frac{\frac{1}{p} \cdot \tan 2\left(\frac{1}{p}\right)}{-\sin^2\left(\frac{1}{p}\right)}\\&=\rm\lim\limits_{p\to 0}\frac{\frac{1}{p} \cdot \tan 2\left(\frac{1}{p}\right)}{-\sin \left(\frac{1}{p}\right)\cdot\sin \left(\frac{1}{p}\right)}\\&=-\rm\lim\limits_{p\to 0}\frac{\frac{1}{p}}{\sin\left(\frac{1}{p}\right)}\cdot\frac{\tan 2\left(\frac{1}{p}\right)}{\sin\left(\frac{1}{p}\right)}\\&=-\left(1\cdot\frac{2}{1}\right)\\&=\underline{\underline{\bf -2}}\end{aligned}$

Ket :

Sifat Trigonometri yang digunakan :

sin²x + cos²x = 1 sehingga cos²x - 1 = -sin²x

Sifat dasar limit fungsi Trigonometri :

$\rm\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=\bf 1$
$\rm\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\tan x}=\bf 1$
$\rm\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin ax}{bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{ax}{\sin bx}=\bf\frac{a}{b}$
$\rm\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan ax}{bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{ax}{\tan bx}=\bf\frac{a}{b}$
$\rm\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan ax}{\tan bx}=\bf\frac{a}{b}$
$\rm\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\tan bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\bf\frac{a}{b}$