Penjelasan dengan langkah-langkah:

Misalkan A = {x│ a < x < b } maka berlaku

(1) Jika f(x) adalah fungsi naik pada interval A maka f’(x) > 0, untuk setiap x ϵ A

(2) Jika f(x) adalah fungsi turun pada interval A maka f’(x) < 0, untuksetiap x ϵ A

(3) Jika f(x) adalah fungsi tidak naik pada interval A maka f’(x) ≤ 0, untuksetiap x ϵ A

(4) Jika f(x) adalah fungsi tidak turun pada interval A maka f’(x) ≥ 0,untuksetiap x ϵ A

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini

01. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = 3x2 – 12x + 5

Jawab

f(x) = 3x2 – 12x + 5

f’(x) = 6x – 12

maka

f’(x) = 0

6x – 12 = 0

6x = 12

x = 2

Uji x = 0 maka f’(0) = 6(0) – 12 = –12 < 0

Uji x = 4 maka f’(4) = 6(4) – 12 = 12 > 0

sehingga : Interval turun pada x > 2

Interval naik pada x > 2

02. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = 9 + 2x – 4x2

Jawab

f(x) = 9 + 2x – 4x2

f’(x) = 2 – 8x

maka

f’(x) = 2 – 8x

2 – 8x = 0

–8x = –2

x = 1/4

Uji x = 0 maka f’(0) = 2 – 8(0) = 2 > 0

Uji x = 2 maka f’(2) = 2 – 8(2) = –14 < 0

sehingga :

Interval naik pada x < 1/4

Interval turun pada x > 1/4

03. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = x3 + 3x2 – 45x + 10

Jawab

f(x) = x3 + 3x2 – 45x + 10

f’(x) = 3x2 + 6x – 45

maka

f’(x) = 3x2 + 6x – 45

3x2 + 6x – 45 = 0

x2 + 2x – 15 = 0

(x + 5)(x – 3) = 0

x1 = –5 dan x1 = 3

Uji x = –10 maka f’(–10) = 3(–10)2 + 6(–10) – 45 = 195 > 0

Uji x = 0 maka f’(0) = 3(0)2 + 6(0) – 45 = –45 < 0

Uji x = 5 maka f’(5) = 3(5)2 + 6(5) – 45 = –14 > 0

sehingga : Interval naik pada x < –5 atau x > 3

Interval turun pada –5 < x < 3

Jika titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik stasioner maka f’(x) = 0

Terdapat tiga macam titik stasioner, yaitu:

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x2 – 6x + 5

Jawab

f(x) = x2 – 6x + 5

f’(x) = 2x – 6

maka

f’(x) = 2x – 6 = 0

2x = 6

Jadi x = 3 y = (3)2 – 6(3) + 5 = –4 Titiknya (3, –4)

Uji x = 1 maka f’(1) = 2(1) – 6 = –4 < 0

Uji x = 4 maka f’(4) = 2(4) – 6 = 2 > 0

sehingga : Titik (3, –4) adalah titik minimum stasioner

02. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 10

Jawab

f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 10

f’(x) = 3x2 – 6x – 9

maka

f’(x) = 3x2 – 6x – 9 = 0

x2 – 2x – 3 =0

(x – 3)(x + 1) = 0

Jadi x = 3 y = (3)3 – 3(3)2 – 9(3) + 10 = –17 Titiknya (3, –17)

x = –1 y = (–1)3 – 3(–1)2 – 9(–1) + 10 = 15 Titiknya (–1, 15)

Uji x = –2 maka f’(–2) = 3(–2)2 – 6(–2) – 9 = 15 > 0

Uji x = 0 maka f’(1) = 3(0)2 – 6(0) – 9 = –9 < 0

Uji x = 4 maka f’(4) = 3(4)2 – 6(4) – 9 = 15 > 0

sehingga :

Titik (3, –17) adalah titik maksimum stasioner

Titik ((–1, 15) adalah titik minimum stasioner

03. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6

Jawab

f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6

f’(x) = 3x2 – 12x + 12

maka f’(x) = 3x2 – 12x + 12 = 0

x2 – 4x + 4 =0

(x – 2)(x – 2) = 0

Jadi x = 2 y = (2)3 – 6(2)2 + 12(2) + 6 = 14

Titiknya (2, 14)

Uji x = 0 maka f’(0) = 3(0)2 – 12(0) + 12 = 12 > 0

Uji x = 4 maka f’(4) = 3(4)2 – 12(4) + 12 = 12 > 0

sehingga : Titik (2, 14) adalah titik belok stasioner

Misalkan A = {x│ a < x <b }makaberlaku

(1) Fungsi f dikatakan cekung ke atas dalam interval A jika f”(x) > 0, untuk setiap x ϵ A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada dibawah kurva

(2) Fungsi f dikatakan cekung ke bawah dalam interval A jika f”(x) < 0, untuk setiap x ϵ A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada diatas kurva

Suatu titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik belok kurva jika f”(x1) = 0 atau f”(x1) tidak ada serta berlaku

Sebagai contoh akan diuraikan pada soal berikut ini :

01. Diketahui fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 4x – 5. Tentukanlah :

(a) interval fungsi naik dan turun

(b) Koordinat titik stasioner

(c) Interval cekung atas dan cekung bawah

(d) Koordinat titik beloknya

Jawab

f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 5

f’(x) = 3x2 – 12x + 9

f’’(x) = 6x –12

sehingga

(a) Interval naik dan turun

f’(x) = 0

3x2 – 12x + 9 = 0

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0 maka x = 1 dan x = 3

Uji : x = 0 maka f’(0) = 3(0)2 – 12(0) + 9 = 9 > 0 (fungsi naik)

Uji : x = 2 maka f’(2) = 3(2)2 – 12(2) + 9 = –3 < 0 (fungsi turun)

Uji : x = 4 maka f’(4) = 3(4)2 – 12(4) + 9 = 9 > 0 (fungsi naik)

Sehingga

interval fungsi naik pada x < 1 atau x > 3

interval fungsi turun pada 1 < x < 3

(b) Titik stasioner adalah :

x = 1 maka f(1) = (1)3 – 6(1)2 + 9(1) – 5 = –1 , Titik maksimum di (1, –1)

x = 3 maka f(3) = (3)3 – 6(3)2 + 9(3) – 5 = –5 , Titik minimum di (3, –5)

(c) Interval cekung atas dan bawah

f’’(x) = 0

6x –12 = 0

6x = 12 maka x = 2

Terima kasih semoga membantu