1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

tentukan deret maclaurin untuk f (x ) hingga suku^5a. f

Berikut ini adalah pertanyaan dari ongaming314 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan deret maclaurin untuk f (x ) hingga suku^5a. f (x) = tan x
b. f(x) = e^x sin x
c. f(x) = e^x + x + sin x​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

a)   \tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5

b)   e^x \sin x=x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{30}x^5

c)    e^x+x+\sin x=1+3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{60}x^5

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Sebelum kita mengerjakan soalnya, kita harus ingat rumus untuk deret Maclaurin:

f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...

PEMBAHASAN

a) f(x)=\tan x

Kita akan cari hingga turunan kelima dari f(x)=tanx.

f'(x)=\sec^2 x

f''(x)=2 \sec^2 x\tan x

f'''(x)=-4 \sec^2 x+6 \sec^4 x

f^{(4)}(x)=-8\sec^2x\: \tan x+24 \sec^4x\: \tan x

f^{(5)}(x)=-8\left(-2\sec ^2\left(x\right)+3\sec ^4\left(x\right)\right)+24\left(4\sec ^4\left(x\right)\tan ^2\left(x\right)+\sec ^6\left(x\right)\right)

(Ingat, turunan dari \tan xdalah\sec^2 xdan turunan dari\sec xadalah\sec x \tan x)

Dari data diatas, kita dapat:

f(0)=0\\f'(0)=1\\f''(0)=0\\f'''(0)=-4+6=2\\f^{(4)}(0)=0\\f^{(5)}(0)=-8(-2+3)+24(1)=-8+24=16

Maka, kita substitusikan nilai tersebut pada rumus deret Maclaurin menjadi:

\tan x=0+\frac{1}{1}x+0+\frac{2}{3!}x^3+0+\frac{16}{5!}x^5

\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5

Maka, deret Maclaurin untuk tan(x) adalah \tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5

b) f(x)=e^x \sin x

Kita bisa menggunakan 2 cara untuk menyelesaikan ini.

CARA PERTAMA:

Anda harus ingat deret Maclaurin untuk fungsi e^x, \sin x, dan \cos x.

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...

Dari sini, kita bisa substitusi deret tersebut pada f(x).

f(x)=e^x \sin x

f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}\right)\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \right)

f(x)=x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{30}x^5 (karena sampai pangkat lima saja)

CARA KEDUA:

Gunakan cara yang sama seperti bagian a.

f(x)=e^x \sin x

f'(x)=e^x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)e^x

f''(x)=2e^x\cos \left(x\right)

f'''(x)=2\left(e^x\cos \left(x\right)-e^x\sin \left(x\right)\right)

f^{(4)}(x)=-4e^x\sin \left(x\right)

f^{(5)}(x)=-4\left(e^x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)e^x\right)

Substitusikan nilai x=0 untuk fungsi-fungsi diatas:

f(0)=0

f'(0)=1

f''(0)=2

f'''(0)=2

f^{(4)}(0)=0

f^{(5)}(0)=-4

Masukkan nilai-nilai tersebut pada rumus Maclaurin diatas, sehingga:

f(x)=0+x+x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{-4}{5!}x^5

f(x)=x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{30}x^5

c) f(x)=e^x+x+\sin x

CARA PERTAMA:

f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}\right)+x+\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)

f(x)=1+3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{60}x^5

CARA KEDUA:

f(x)=e^x+x+\sin x

f'(x)=e^x+1+\cos \left(x\right)

f''(x)=e^x-\sin \left(x\right)

f'''(x)=e^x-\cos \left(x\right)

f^{(4)}(x)=e^x+\sin \left(x\right)

f^{(5)}(x)=e^x+\cos \left(x\right)

Substitusikan nilai x=0, kita dapat:

f(0)=1

f'(0)=3

f''(0)=1

f'''(0)=0

f^{(4)}(0)=1

f^{(5)}(0)=2

Subsitusikan ke deret Maclaurin, kita dapat:

f(x)=1+3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{60}x^5

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh Tomaten dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 02 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>