mohon bantuannya dengan penjelasan yang detail kk

Berikut ini adalah pertanyaan dari agstalqhvie pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mohon bantuannya dengan penjelasan yang detail kk

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Perhatikan bilangan yang mengisi bagian oenyebut :

2 = 1 × 2 = 1 × (1 + 1)

6 = 2 × 3 = 2 × (2 + 1)

12 = 3 × 4 = 3 × (3 + 1)

20 = 4 × 5 = 4 × (4 + 1)

......

9900 = 99 × 100 = 99 × (99 + 1)

$n=n\times (n+1)$

Suku terakhirnya adalah $~n=99$

Sehingga, penjumlahan tersebut bisa dituliskan dengan notasi sigma :

$\begin{array}{rcl}\footnotesize \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{9900}&=&\sum \limits_{n=1}^{99}~\frac{1}{n(n+1)}\\~\\&=&\sum \limits_{n=1}^{99}~\frac{1+n-n}{n(n+1)}\\~\\&=&\sum \limits_{n=1}^{99}~\left(\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}\right)\\~\\&=&\sum \limits_{n=1}^{99}~\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\~\\&=&\sum \limits_{n=1}^{99}~\frac{1}{n}-\sum \limits_{n=1}^{99}~\frac{1}{n+1}\\~\\&=&\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{98}+\frac{1}{99}\right)\\&&-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)\\~\\&=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}\\&&~~~-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\\~\\&=&1-\frac{1}{100}\end{array}$