1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Bagian atas dari jantung r=(1−cos⁡ θ) diputar mengelilingi garis θ=

Berikut ini adalah pertanyaan dari irsyadnurrohmapcz6u3 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bagian atas dari jantung r=(1−cos⁡ θ) diputar mengelilingi garis θ= π. Carilah luas permukaan yang terbentuk.​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:

\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas

 

Pembahasan

Aplikasi Integral: Luas Permukaan Benda Putar

Diketahui
Kardioda/Jantung r=1-\cos\theta, bagian atasnya diputar mengelilingi garis \theta=\pi.

Ditanyakan
Luas permukaan benda putar yang terbentuk

PENYELESAIAN

Pada sistem koordinat polar, garis \theta=\pi adalah garis mendatar yang berpangkal pada titik pusat ke arah negatif (kiri) dan berlawanan arah dengan garis \theta=0. Kardioda, atau bangun datar yang menyerupai bentuk jantung, yang dalam persoalan ini didefinisikan dengan r=1-\cos\theta, memiliki sumbu simetri mendatar \theta=\pi. Bagian atas jantung r=1-\cos\thetaadalah bagian yang terbentuk pada interval0 \le \theta \le \pi.

Kita akan menggunakan persamaan parametrik untuk menentukan luas permukaannya, di mana luas permukaan benda putar yang terbentuk dinyatakan oleh:

\displaystyle L=2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta
 

Untuk setiap titik (r, \theta), x=r\cos\theta, dan y=r\sin\theta, sehingga:

\begin{aligned}{\bullet\ \ }\frac{dx}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dy}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dr}{d\theta}&=\frac{d}{d\theta}(1-\cos\theta)=\sin\theta\end{aligned}

Oleh karena itu:

\begin{aligned}&{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\right)^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\right)^2\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\cos^2\theta+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\sin^2\theta\\&{\quad}+r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta\\&{\quad}\cancel{-\ 2\frac{dr}{d\theta}\cos\theta\cdot r\sin\theta}\cancel{+\ 2\frac{dr}{d\theta}\sin\theta\cdot r\cos\theta}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\\&{\quad}+r^2\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2\\&{=\ }\sin^2\theta+\left(1+\cos^2\theta-2\cos\theta\right)\\&{=\ }\sin^2\theta+\cos^2\theta+1-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\left(2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)-1\right)\\&{=\ }2-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+2\\&{=\ }4-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }4\left(1-\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\\&{=\ }4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}

Kita peroleh:

\begin{aligned}\therefore\ \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}=2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\end{aligned}
 

Maka:

\begin{aligned}L&=2\pi\int_{0}^{\pi}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=2\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\cdot2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\\&=4\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\end{aligned}
 

\begin{aligned}&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }u=\frac{\theta}{2}\\&\Rightarrow \theta=2u\\&\Rightarrow d\theta=2du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $u$}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}\right.\\\\L&=4\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)2du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(2\sin^2u\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\end{aligned}
\begin{aligned}&=16\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(\sin^2u\cdot2\sin u\cos u\left|\sin u\right|\right)du\\&=32\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^4u\cos u\,du\\&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }v=\sin u\\&\Rightarrow dv=\cos u\,du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $v$}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\\&\Rightarrow \textsf{Batas bawah $v$}=\sin0=0\\\end{aligned}\right.\\\\L&=32\pi\int_{0}^{1}v^4\,dv\\&=32\pi\left[\frac{v^5}{5}\right]_{0}^{1}\end{aligned}
\begin{aligned}&=32\pi\left(\frac{1}{5}-0\right)\\L&=\boxed{\ \frac{32\pi}{5}\ \rm satuan\ luas}\end{aligned}

\blacksquare

 

KESIMPULAN

∴  Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:

\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas

 

Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:[tex]\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas[/tex] PembahasanAplikasi Integral: Luas Permukaan Benda PutarDiketahuiKardioda/Jantung [tex]r=1-\cos\theta[/tex], bagian atasnya diputar mengelilingi garis [tex]\theta=\pi[/tex].DitanyakanLuas permukaan benda putar yang terbentukPENYELESAIANPada sistem koordinat polar, garis [tex]\theta=\pi[/tex] adalah garis mendatar yang berpangkal pada titik pusat ke arah negatif (kiri) dan berlawanan arah dengan garis [tex]\theta=0[/tex]. Kardioda, atau bangun datar yang menyerupai bentuk jantung, yang dalam persoalan ini didefinisikan dengan [tex]r=1-\cos\theta[/tex], memiliki sumbu simetri mendatar [tex]\theta=\pi[/tex]. Bagian atas jantung [tex]r=1-\cos\theta[/tex] adalah bagian yang terbentuk pada interval [tex]0 \le \theta \le \pi[/tex].Kita akan menggunakan persamaan parametrik untuk menentukan luas permukaannya, di mana luas permukaan benda putar yang terbentuk dinyatakan oleh:[tex]\displaystyle L=2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta[/tex] Untuk setiap titik [tex](r, \theta)[/tex], [tex]x=r\cos\theta[/tex], dan [tex]y=r\sin\theta[/tex], sehingga:[tex]\begin{aligned}{\bullet\ \ }\frac{dx}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dy}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dr}{d\theta}&=\frac{d}{d\theta}(1-\cos\theta)=\sin\theta\end{aligned}[/tex]Oleh karena itu:[tex]\begin{aligned}&{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\right)^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\right)^2\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\cos^2\theta+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\sin^2\theta\\&{\quad}+r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta\\&{\quad}\cancel{-\ 2\frac{dr}{d\theta}\cos\theta\cdot r\sin\theta}\cancel{+\ 2\frac{dr}{d\theta}\sin\theta\cdot r\cos\theta}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\\&{\quad}+r^2\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2\\&{=\ }\sin^2\theta+\left(1+\cos^2\theta-2\cos\theta\right)\\&{=\ }\sin^2\theta+\cos^2\theta+1-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\left(2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)-1\right)\\&{=\ }2-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+2\\&{=\ }4-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }4\left(1-\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\\&{=\ }4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}[/tex]Kita peroleh:[tex]\begin{aligned}\therefore\ \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}=2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\end{aligned}[/tex] Maka:[tex]\begin{aligned}L&=2\pi\int_{0}^{\pi}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=2\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\cdot2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\\&=4\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\end{aligned}[/tex] [tex]\begin{aligned}&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }u=\frac{\theta}{2}\\&\Rightarrow \theta=2u\\&\Rightarrow d\theta=2du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $u$}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}\right.\\\\L&=4\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)2du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(2\sin^2u\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=16\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(\sin^2u\cdot2\sin u\cos u\left|\sin u\right|\right)du\\&=32\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^4u\cos u\,du\\&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }v=\sin u\\&\Rightarrow dv=\cos u\,du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $v$}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\\&\Rightarrow \textsf{Batas bawah $v$}=\sin0=0\\\end{aligned}\right.\\\\L&=32\pi\int_{0}^{1}v^4\,dv\\&=32\pi\left[\frac{v^5}{5}\right]_{0}^{1}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=32\pi\left(\frac{1}{5}-0\right)\\L&=\boxed{\ \frac{32\pi}{5}\ \rm satuan\ luas}\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex] KESIMPULAN∴  Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:[tex]\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas[/tex] Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:[tex]\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas[/tex] PembahasanAplikasi Integral: Luas Permukaan Benda PutarDiketahuiKardioda/Jantung [tex]r=1-\cos\theta[/tex], bagian atasnya diputar mengelilingi garis [tex]\theta=\pi[/tex].DitanyakanLuas permukaan benda putar yang terbentukPENYELESAIANPada sistem koordinat polar, garis [tex]\theta=\pi[/tex] adalah garis mendatar yang berpangkal pada titik pusat ke arah negatif (kiri) dan berlawanan arah dengan garis [tex]\theta=0[/tex]. Kardioda, atau bangun datar yang menyerupai bentuk jantung, yang dalam persoalan ini didefinisikan dengan [tex]r=1-\cos\theta[/tex], memiliki sumbu simetri mendatar [tex]\theta=\pi[/tex]. Bagian atas jantung [tex]r=1-\cos\theta[/tex] adalah bagian yang terbentuk pada interval [tex]0 \le \theta \le \pi[/tex].Kita akan menggunakan persamaan parametrik untuk menentukan luas permukaannya, di mana luas permukaan benda putar yang terbentuk dinyatakan oleh:[tex]\displaystyle L=2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta[/tex] Untuk setiap titik [tex](r, \theta)[/tex], [tex]x=r\cos\theta[/tex], dan [tex]y=r\sin\theta[/tex], sehingga:[tex]\begin{aligned}{\bullet\ \ }\frac{dx}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dy}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dr}{d\theta}&=\frac{d}{d\theta}(1-\cos\theta)=\sin\theta\end{aligned}[/tex]Oleh karena itu:[tex]\begin{aligned}&{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\right)^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\right)^2\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\cos^2\theta+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\sin^2\theta\\&{\quad}+r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta\\&{\quad}\cancel{-\ 2\frac{dr}{d\theta}\cos\theta\cdot r\sin\theta}\cancel{+\ 2\frac{dr}{d\theta}\sin\theta\cdot r\cos\theta}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\\&{\quad}+r^2\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2\\&{=\ }\sin^2\theta+\left(1+\cos^2\theta-2\cos\theta\right)\\&{=\ }\sin^2\theta+\cos^2\theta+1-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\left(2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)-1\right)\\&{=\ }2-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+2\\&{=\ }4-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }4\left(1-\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\\&{=\ }4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}[/tex]Kita peroleh:[tex]\begin{aligned}\therefore\ \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}=2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\end{aligned}[/tex] Maka:[tex]\begin{aligned}L&=2\pi\int_{0}^{\pi}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=2\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\cdot2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\\&=4\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\end{aligned}[/tex] [tex]\begin{aligned}&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }u=\frac{\theta}{2}\\&\Rightarrow \theta=2u\\&\Rightarrow d\theta=2du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $u$}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}\right.\\\\L&=4\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)2du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(2\sin^2u\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=16\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(\sin^2u\cdot2\sin u\cos u\left|\sin u\right|\right)du\\&=32\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^4u\cos u\,du\\&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }v=\sin u\\&\Rightarrow dv=\cos u\,du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $v$}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\\&\Rightarrow \textsf{Batas bawah $v$}=\sin0=0\\\end{aligned}\right.\\\\L&=32\pi\int_{0}^{1}v^4\,dv\\&=32\pi\left[\frac{v^5}{5}\right]_{0}^{1}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=32\pi\left(\frac{1}{5}-0\right)\\L&=\boxed{\ \frac{32\pi}{5}\ \rm satuan\ luas}\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex] KESIMPULAN∴  Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:[tex]\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas[/tex] Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:[tex]\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas[/tex] PembahasanAplikasi Integral: Luas Permukaan Benda PutarDiketahuiKardioda/Jantung [tex]r=1-\cos\theta[/tex], bagian atasnya diputar mengelilingi garis [tex]\theta=\pi[/tex].DitanyakanLuas permukaan benda putar yang terbentukPENYELESAIANPada sistem koordinat polar, garis [tex]\theta=\pi[/tex] adalah garis mendatar yang berpangkal pada titik pusat ke arah negatif (kiri) dan berlawanan arah dengan garis [tex]\theta=0[/tex]. Kardioda, atau bangun datar yang menyerupai bentuk jantung, yang dalam persoalan ini didefinisikan dengan [tex]r=1-\cos\theta[/tex], memiliki sumbu simetri mendatar [tex]\theta=\pi[/tex]. Bagian atas jantung [tex]r=1-\cos\theta[/tex] adalah bagian yang terbentuk pada interval [tex]0 \le \theta \le \pi[/tex].Kita akan menggunakan persamaan parametrik untuk menentukan luas permukaannya, di mana luas permukaan benda putar yang terbentuk dinyatakan oleh:[tex]\displaystyle L=2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta[/tex] Untuk setiap titik [tex](r, \theta)[/tex], [tex]x=r\cos\theta[/tex], dan [tex]y=r\sin\theta[/tex], sehingga:[tex]\begin{aligned}{\bullet\ \ }\frac{dx}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dy}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dr}{d\theta}&=\frac{d}{d\theta}(1-\cos\theta)=\sin\theta\end{aligned}[/tex]Oleh karena itu:[tex]\begin{aligned}&{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\right)^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\right)^2\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\cos^2\theta+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\sin^2\theta\\&{\quad}+r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta\\&{\quad}\cancel{-\ 2\frac{dr}{d\theta}\cos\theta\cdot r\sin\theta}\cancel{+\ 2\frac{dr}{d\theta}\sin\theta\cdot r\cos\theta}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\\&{\quad}+r^2\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2\\&{=\ }\sin^2\theta+\left(1+\cos^2\theta-2\cos\theta\right)\\&{=\ }\sin^2\theta+\cos^2\theta+1-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\left(2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)-1\right)\\&{=\ }2-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+2\\&{=\ }4-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }4\left(1-\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\\&{=\ }4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}[/tex]Kita peroleh:[tex]\begin{aligned}\therefore\ \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}=2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\end{aligned}[/tex] Maka:[tex]\begin{aligned}L&=2\pi\int_{0}^{\pi}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=2\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\cdot2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\\&=4\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\end{aligned}[/tex] [tex]\begin{aligned}&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }u=\frac{\theta}{2}\\&\Rightarrow \theta=2u\\&\Rightarrow d\theta=2du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $u$}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}\right.\\\\L&=4\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)2du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(2\sin^2u\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=16\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(\sin^2u\cdot2\sin u\cos u\left|\sin u\right|\right)du\\&=32\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^4u\cos u\,du\\&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }v=\sin u\\&\Rightarrow dv=\cos u\,du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $v$}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\\&\Rightarrow \textsf{Batas bawah $v$}=\sin0=0\\\end{aligned}\right.\\\\L&=32\pi\int_{0}^{1}v^4\,dv\\&=32\pi\left[\frac{v^5}{5}\right]_{0}^{1}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=32\pi\left(\frac{1}{5}-0\right)\\L&=\boxed{\ \frac{32\pi}{5}\ \rm satuan\ luas}\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex] KESIMPULAN∴  Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:[tex]\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas[/tex] 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 24 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>