tentukan solusi dari f''(t)+f(t)=t dengan nilai awal f(0)=1 dan f'(0)=-2

Berikut ini adalah pertanyaan dari Indahdwii30 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan solusi dari f''(t)+f(t)=t dengan nilai awal f(0)=1 dan f'(0)=-2

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Solusi dari $f''(t)+f(t)=t$ dengan nilai awal $f(0)=1$ dan $f'(0)=-2$ adalah $\boldsymbol{f(t)=-3sint+cost+t}$ .

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial (PD) orde 2 non homogen mempunyai bentuk :

$\displaystyle{\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}+y=P(x)}$

Bentuk ini mempunyai persamaan karakteristik berbentuk :

$r^2+r+1=P(x)$

Dengan P(x) ≠ 0. Jika P(x) = 0 maka disebut PD orde 2 homogen.

PD ini memiliki 2 solusi, yaitu :

1. Solusi PD homogen $y_h$ .

2. Solusi PD non homogen $y_p$ .

Sehingga solusi total dari PD orde 2 non homogen adalah :

$y=y_h+y_p$

Untuk solusi PD homogen ada 3 kemungkinan :

1. Jika akar akarnya real dan berbeda maka $y_h=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

2. Jika akarnya real dan kembar maka $y_h=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}$

3. Jika akarnya imajiner maka $y_h=e^{ax}(C_1sinbx+C_2cosbx)$

Untuk solusi PD non homogen disesuaikan dengan bentuk fungsi P(x) nya. Jika P(x) berbentuk fungsi polinom berderajat n, maka pilih solusi berbentuk fungsi polinom berderajat (n+1).

DIKETAHUI

$f''(t)+f(t)=t$

$f(0)=1$

$f'(0)=-2$

DITANYA

Tentukan solusi persamaan diferensial tersebut.

PENYELESAIAN

> Mencari solusi PD homogen.

$f''(t)+f(t)=t$

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah :

$r^2+1=0$

$r^2=-1$

$r=\pm\sqrt{-1}$

$r=0\pm i$

Karena akar akarnya adalah bilangan imajiner berbentuk $r_{1,2}=a\pm bi$ , maka solusi homogennya adalah $f_h=e^{at}(C_1sinbt+C_2cosbt)$ .

Kita peroleh a = 0 dan b = 1 sehingga solusi homogennya :

$f_h=e^{(0)t}(C_1sin(1)t+C_2cos(1)t)$

$f_h=C_1sint+C_2cost$

> Mencari solusi PD non homogen.

Karena $P(t)=t$ (fungsi polinom berderajat 1), maka kita pilih fungsi polinom berderajat 2, yaitu :

$f_p=At^2+Bt+C$

$f_p'=2At+B$

$f_p''=2A$

Substitusikan kembali ke soal :

$f''(t)+f(t)=t$

$2A+At^2+Bt+C=t$

$At^2+Bt+(2A+C)=t$

Dengan menyamakan variabel di kedua ruas, kita peroleh :

Variabel t² :

$A=0$

Variabel t :

$B=1$

Konstanta :

$2A+C=0$

$C=-2A$

$C=0$

Diperoleh solusi non homogennya :

$f_p=t$

Maka solusi totalnya adalah :

$f(t)=f_h+f_p$

$f(t)=C_1sint+C_2cost+t$

> Mencari solusi khusus.

Substitusi f(0) = 1 dan f'(0) = -2 ke solusi total.

$f(t)=C_1sint+C_2cost+t$

$f'(t)=C_1cost-C_2sint+1$

$f(0)=1$

$1=C_1sin(0)+C_2cos(0)+0$

$1=C_1(0)+C_2(1)$

$C_2=1$

$f'(0)=-2$

$-2=C_1cos(0)-C_2sin(0)+1$

$-2=C_1(1)-C_2(0)+1$

$C_1=-3$

Maka solusi khusunya :

$f(t)=C_1sint+C_2cost+t$

$f(t)=-3sint+cost+t$

KESIMPULAN

Solusi dari $f''(t)+f(t)=t$ dengan nilai awal $f(0)=1$ dan $f'(0)=-2$ adalah $\boldsymbol{f(t)=-3sint+cost+t}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/37247469
PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/37242653
PD orde 3 homogen : yomemimo.com/tugas/37403796

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : persamaan, diferensial, orde dua, non homogen, solusi, nilai, awal.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 19 Oct 21

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

tentukan solusi dari f''(t)+f(t)=t dengan nilai awal f(0)=1 dan f'(0)=-2​

Jawaban dan Penjelasan

PEMBAHASAN

DIKETAHUI

DITANYA

PENYELESAIAN

KESIMPULAN

PELAJARI LEBIH LANJUT

DETAIL JAWABAN

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika

tentukan solusi dari f''(t)+f(t)=t dengan nilai awal f(0)=1 dan f'(0)=-2